La métrica de la expansión

[Jaime Rudas]

La métrica de la teoría del big bang es la métrica de Fridman-Lemaître-Robertson-Walker (o modelo FLRW) y está definida según la siguiente fórmula:

$\dd s^2=- \dd t^2+a(t)^2 \left(\dst \frac{\dd r^2}{1-kr^2}+r^2 \dd \theta+r^2 \sin^2\theta \dd \phi^2 \right)$

Se ve algo complicada pero, en realidad, no lo es tanto:

La métrica de un espacio no es otra cosa que la forma en que se miden las distancias en ese espacio. Por ejemplo, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la distancia $l$ entre el origen de las coordenadas cartesianas y un punto $P$ con coordenadas $(x,y)$ en el plano, se puede calcular mediante la fórmula:

$l^2=x^2+y^2$

En ese mismo plano, para averiguar la distancia $\Delta l$ entre un punto $P_1$ con coordenadas $(x_1,y_1)$ y otro punto $P_2$ con coordenadas $(x_2,y_2)$, la fórmula sería (también de acuerdo con el teorema de Pitágoras) la siguiente:

$\Delta l^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=\Delta x^2 +\Delta y^2$

Ahora bien, por motivos de cálculo diferencial (que no vienen al caso explicar ahora), es razonable reemplazar la $\Delta$ (que indica diferencia) por una $\dd$ (que indica diferencial), con lo que obtenemos:

$\dd l^2=\dd x^2+\dd y^2$

Si requerimos la distancia, no en un plano, sino en un espacio euclidiano de tres dimensiones, el razonamiento es similar y obtenemos:

$\dd l^2=\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2$

Todo lo anterior se refiere a coordenadas cartesianas, sin embargo, en algunos ámbitos (como la astronomía o la geografía) se usan otros tipos de coordenadas. Por ejemplo, las coordenadas geográficas no usan $x,y,z$, sino que usan longitud, latitud y altura sobre el nivel del mar. En astronomía se usan, entre otras, las coordenadas ecuatoriales (ascensión recta, declinación y distancia radial al astro) que, al igual que las geográficas, son un tipo de coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas se caracterizan porque, en vez de usar tres ejes $x,y,z$, utilizan un ángulo vertical $\theta$, otro horizontal $\phi$ y la distancia radial $r$ al punto, como se explica aquí.

De esta forma, cualquier fórmula expresada en coordenadas cartesianas es posible también expresarla en coordenadas esféricas y viceversa, aplicando las fórmulas de conversión que se enuncian aquí.

Así las cosas, al transformar la métrica de un espacio euclidiano de coordenadas cartesianas:

$\dd l^2=\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2$

a coordenadas esféricas, nos resulta

$\dd l^2=\dd r^2+r^2 \dd \theta+r^2 \sin^2\theta \dd \phi^2$

como se puede ver aquí ($\dd l$ es la diferencial de longitud o elemento de línea).
Esta es, pues, la métrica de un espacio euclidiano tridimensional; pero ¿qué pasa con el espacio-tiempo tetradimensional de la relatividad especial? Si fuera un espacio euclidiano de cuatro dimensiones, a su métrica se le añadiría la cuarta dimensión al igual que añadimos la tercera:

$\dd l^2=\dd w^2+\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2$

Sin embargo, el espacio de la relatividad especial (también llamado espacio de Minkovski) no es euclidiano, sino pseudoeuclidiano, lo que significa que tiene algunas pequeñas diferencias con el euclidiano: la cuarta dimensión no es espacial, sino temporal $\dd t$. En consecuencia, ya no se puede hablar de diferencial de longitud, sino que lo llamamos diferencial del intervalo espacio temporal y, para evitar confusiones, utilizamos la notación $\dd s$, en vez de $\dd l$. Otra diferencia es que el término $\dd t^2$ se resta y no se suma:

$\dd s^2=-\dd t^2+\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2$

como se puede ver aquí (cabe anotar que, al utilizar unidades de Planck, desaparece la constante $\mathrm{c}$ que hay en la fórmula citada).

Esto mismo, expresado en coordenadas esféricas, resulta:

$\dd s^2=-\dd t^2+(\dd r^2+r^2 \dd \theta+r^2 \sin^2\theta \dd \phi^2)$

Ahora bien, si lo comparamos con nuestra fórmula inicial de la métrica FLRW:

$\dd s^2=- \dd t^2+a(t)^2 \left(\dst \frac{\dd r^2}{1-kr^2}+r^2 \dd \theta+r^2 \sin^2\theta \dd \phi^2 \right)$

encontramos que las únicas diferencias son el término $a(t)^2$ y el término $1-kr^2$. El término $k$ hace referencia a la curvatura del espacio: cuando es cero se refiere a un espacio euclidiano, cuando es mayor que cero, a un espacio con curvatura positiva y cuando es menor que cero, con curvatura negativa. Nótese que cuando $k=0$ la parte entre paréntesis es igual a la diferencial de longitud de un espacio euclídeo. Esto significa que el elemento $a(t)$ (el factor de escala) lo que en realidad hace es multiplicar las distancias espaciales por un determinado factor que varía con el tiempo. De lo anterior resulta que si el factor de escala $a(t)$ aumenta con el tiempo, entonces también aumentan con el tiempo las distancias entre los diferentes puntos, multiplicándose todas las distancias por el mismo factor. Es precisamente a eso a lo que se llama expansión y que, como se ve claramente en la fórmula, funciona tan bien para un universo infinito $(k\leq0$), como para uno finito ($k > 0$).