El logaritmo en el análisis de señales

[Julián]

En la entrada anterior escribi hacerca del análisis de sistemas lineales mediante la transformada de laplace.

http://forum.lawebdefisica.com/entri...ada-de-Laplace

La transformada de laplace tiene la particularidad de expresar las señales del dominio temporal en el dominio complejo, donde cada señal se representa como una sumatoria de exponenciales complejas $\dst H(s){e}^{st}=H(\sigma + i\omega){e}^{\sigma t + i \omega t}$. El factor $H(s)$, es lo que se denomina propiamente transformada de laplace y es el "peso" en cuanto a módulo y diferencia de fase que presenta cada exponencial compleja para que en la sumatoria represente a la señal temporal.

A modo de ejemplificar:

$\dst x(t) = \frac{1}{i 2 \pi }{\int}_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} H(s) {e}^{st} ds$

¿Por qué la importancia de esta herramienta matemática?

Las exponenciales complejas tienen la particularidad de ser autofunciones de los sistemas LTI (lineales e invariantes en el tiempo).
Esto en física no es pequeña cosa, todo sistema presenta una transformación de una exitación dando una respuesta. Ahora al ser una autofunción la respuesta presenta la "misma forma" que la excitación con una diferencia en módulo y en fase, lo que constituye un autovalor. Veamos una demostración matemática:

$\dst y(t) = {\int}_{- \infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau$

Donde $y(t)$ es la respuesta del sistema, $x(t)$ la excitación en su entrada y $h(t)$ es la respuesta al impulso unitario.


$\dst y(t) = {\int}_{- \infty}^{\infty} ( \frac{1}{i 2 \pi }{\int}_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} X(s) {e}^{s \tau} ds) (\frac{1}{i 2 \pi }{\int}_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} H(s) {e}^{s(t-\tau)} ds) d \tau$

$\dst y(t) =\frac{1}{- 4 {\pi}^{2} } ({\int}_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} {\int}_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} X(s)H(s) d s) ({\int}_{- \infty}^{\infty} {e}^{s \tau}{e}^{s(t-\tau)} d \tau)$

$\dst y(t) =\frac{1}{- 4 {\pi}^{2} } ({\int}_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} {\int}_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} X(s)H(s) d s) {e}^{s t} ({\int}_{- \infty}^{\infty} d \tau)$