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La lemniscata fue obtenida y explicada por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli; haciéndola a partir de la modificación algebraica de una elipse.
El primer nombre dado a esta curva, que se lo debemos a J. Bernoulli, fue lemniscus, que significa algo así como tira, cinta, fibra...
La lemniscata se genera, como dije, de varias maneras, aunque aquí lo haré de una sola; que consistirá en cortar convenientemente con un plano una superficie toroidal. El toro (torus) es una superficie que se asemeja a una cámara de auto, a una rosquita o donut.
Para formar un toro se puede partir de una circunferencia de radio r cuyo centro se encuentra a una distancia R del origen de coordenadas, y hacer revolucionar esa circunferencia sobre el eje perpendicular a R.
El plano de corte es el que pasa por el punto o y es paralelo a X, Z. Dicho plano es tangente al toro en el punto o. R es el segmento (a,b) y r el radio de la circunferencia pequeña (que revoluciona para formar la superficie). Se ve que el plano tiene por ecuación y= R-r. Pues da todos los puntos de igual valor Y para cualquier X, Z. La curva que se forma (la lemniscata) resulta de dicho corte
Se puede demostrar que las ecuaciones paramétricas del torus son:
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Nos interesa la intersección con el plano tangente a un punto interior del toro
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De la segunda ecuación del sistema (1) y de (2) obtenemos
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Obsérvese que resulta [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] obviamente estamos considerando 0 < r < R ). Reemplazando (3) en la primera ecuación del sistema (1), y elevando al cuadrado:
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Pues [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , tercera ecuación del sistema (1), entonces:
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Entonces
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Por lo tanto
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Resulta
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Para que (8) sea la ecuación de una lemniscata, debe ser [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , es decir:
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Porque entonces en (8) tenemos:
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O bien
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Esta es la ecuación de una lemniscata en el plano de ecuación (2).
Tomando coordenadas polares,
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Resulta
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Es decir, la ecuación de una lemniscata en forma polar
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