Momento angular, momento de inercia y ejes principales.

[QED]

Hola muy buenas, en este artículo voy a demostrar el momento angular, que denotaremos con $\vec{L}$, y el momento de inercia, al cual lo nombraremos con $I$. Aprovecho para decir que soy alumno de 1º del grado en física, así que probablemente algún error haya. Empecemos:



Consideremos un sólido (el de la imagen) que gira alrededor del eje $\dst OZ$, con una determinada velocidad angular $\dst \vec{\omega} = \omega \hat{k}$. Tal como se ha dicho, cada partícula describirá una circunferencia en un plano perpendicular al eje. Así, por ejemplo, la partícula $\dst A_i$ describe una circunferencia de radio $\dst R_i$, lo que hace que posea una velocidad lineal dada por:

$$\dst \vec{v_i} = \vec{\omega} \times \vec{R_i}$$

o bien:

$$\dst \vec{v_i} = \vec{\omega} \times (\vec{r_i}-\vec{z_i})$$

siendo $\dst \vec{r_i}$ el vector de posición de la partícula $\dst A_i$ y $\dst \vec{z_i}$ el vector de posición del centro de la circunferencia descrita, y que se encuentra sobre el eje $\dst OZ$. De esta manera el momento angular correspondiente a la partícula $\dst A_i$ será:

$$\dst \vec{L_i}=\vec{r_i}\times\vec{p_i}=m_i \vec{r_i}\times\vec{v_i}$$

siendo perpendicular al plano formado por los vectores $\dst \vec{r_i}$ y $\dst \vec{v_i}$, con lo que formará un ángulo de $\dst \frac{\pi}{ 2}-\theta_i$ con el eje $\dst OZ$.
Calcularemos ahora los distintos elementos, empezando por el vector velocidad lineal asociado a la velocidad angular $\dst \vec{\omega}$, es decir:

$$\dst \vec{v_i}=<br /> \begin{vmatrix}<br /> \hat i &\hat j &\hat k\\<br /> 0 & 0 & \omega\\<br /> x_i & y_i & 0<br /> \end{vmatrix}<br /> = x_i\omega\hat j - y_i\omega\hat i<br />$$

y así, el momento angular nos vendrá dado por:

$$\dst \vec{L_i}=<br /> m_i\begin{vmatrix}<br /> \hat i &\hat j &\hat k\\<br /> x_i & y_i & z_i\\<br /> -\omega y_i & \omega x_i & 0<br /> \end{vmatrix}<br /> = -\omega m_i z_i x_i \hat i -\omega m_i z_i y_i \hat j + \omega m_i ( x_i^2+y_i^2)\hat k<br />$$

ahora bien, sabemos que:

$$\dst R_i^2=x_i^2+y_i^2$$

Y con ello, podremos escribir:

$$\dst \vec{L_i}=-\omega m_i z_i x_i \hat i -\omega m_i z_i y_i \hat j + \omega m_i R_i^2\hat k = -\omega m_i z_i x_i \hat i -\omega m_i z_i y_i \hat j + \omega I_i \hat k$$

donde

$$\dst I_i=m_i R_i^2$$

recibe el nombre de momento de inercia de la partícula $\dst A_i$ de masa $\dst m_i$ situada a una distancia $\dst R_i$ del eje de rotación.
Si estos razonamientos los aplicamos a todas las partículas que componen el sólido, el momento angular del mismo vendrá dado por:

$$\dst \vec L = \sum{\vec{L_i}}=\sum{(-\omega m_i z_i x_i \hat i -\omega m_i z_i y_i \hat j + \omega I_i \hat k)}=-\omega\sum{m_i z_i x_i \hat i - \omega \sum{m_i z_i y_i \hat j + \omega I \hat k$$

En esta última expresión se ha hecho que:

$$\dst I=\sum{m_i R_i^2}=\sum{I_i}$$

representando el momento de inercia del sólido, en su totalidad, respecto al eje de rotación.
Esta última expresión presenta un aspecto más simple en el caso en que el eje de rotación, en nuestro caso el eje OZ, sea además un eje de simetría. En estas circunstancias los términos $\dst \sum{m_i z_i x_i}$ y $\dst \sum{m_i z_i y_i$ son nulos, puesto que cualquier punto $\dst A_i$ de coordenadas $\dst (x_i,y_i,z_i)$ tiene su simétrico $\dst A'_i$ de coordenadas $\dst (-x_i,-y_i,-z_i)$ , con lo que los sumatorios anteriores se anularán.

De esta manera, un cuerpo que gira respecto de un eje de simetría tiene un momento angular dado por:

$$\dst \vec{L}=\vec{L_z}=\omega I \hat k = I \vec{\omega}$$

El eje de rotación que además es un eje de simetría, recibe el nombre de eje principal, y los correspondientes momentos de inercia, se denominan momentos principales de inercia. Notemos que en estas circunstancias el momento angular es paralelo al eje de rotación.
Dada la comodidad que para el cálculo representa el paralelismo entre el momento angular y el eje de rotación, cabría preguntarse si para cada cuerpo hay algún eje de rotación para el que se dé este hecho. La respuesta es afirmativa. Se puede demostrar que para cada cuerpo, sin importar su forma, existen, por lo menos, tres direcciones mutuamente perpendiculares para las cuales el momento angular es paralelo al eje de giro. Es decir, que hay tres ejes principales y tres momentos principales de inercia, que se designan por $\dst I_1,I_2$ y $\dst I_3$ . Estos tres ejes forman un sistema de referencia fijo en el cuerpo que, en general, rota con el cuerpo.
Por último conviene recalcar que la expresión

$$\dst \vec{L}= I \vec{\omega}$$

únicamente es válida para la rotación alrededor de un eje principal de inercia.
En líneas generales el momento angular respecto de un eje de rotación arbitrario, y que nosotros hemos elegido coincidente con el eje $\dst OZ$, viene dado por:

$$\dst \vec L = -\omega\sum{m_i z_i x_i \hat i - \omega \sum{m_i z_i y_i \hat j + \omega I \hat k$$

Los factores "$\dst -\omega\sum{m_i z_i x_i}$" y "$\dst -\omega\sum{m_i z_i y_i}$" son los productos de inercia respecto a los planos $\dst X=0, Z=0$ e $\dst Y=0, Z=0$

En fin, espero que os haya gustado. No dudéis en corregirme o decirme si debo cambiar algo. Un saludo!