El objeto de este blog es recopilar, fórmulas o ecuaciones matemáticas que se aplican en física normalmente, para que con un simple copie y pegue se puedan usar en el desarrollo de los mensajes del foro y los artículos de blogs.
La idea es aportar el código latex, y no dar la interpretación de lo que la fórmula es o representa o implica, cuya simbología es la corriente, y se puede hallar en cualquier texto de divulgación o aquí en esta misma en las secciones
Apuntes, Chuletas, Artículos, Trabajos y Libros.

Esta entrega blog esta dedicado al algebra de espacios métricos

Algebra Vectorial
Determinante 3x3 \left | \begin{array}{ccc} a & b& c \\
d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right |=
(e \cdot i-f \cdot h) \cdot a-(d \cdot i-g
\cdot f) \cdot b+(d \cdot h-e \cdot g) \cdot c
Traza en 3x3 \left ( \begin{array}{ccc} a & b& c\\
d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right )
=a+e+i=\dst \sum^n_{i=1}a_{ii}
Matriz traspuesta M^T =\left ( \begin{array}{ccc} a & d &
g\\ b & e & h \\ c & f & i\end{array}\right )
Convención
Representación
de Vector
Contravariante
\vec a = a^i \vec {e_i}
Convención
Representación
de Vector
Covariante
\bar a = a_i \bar {e^i}
Producto escalar \bar a \cdot \vec b = a_i b^i
Producto de matrices C_j^i =A_k^i \cdot B_j^k= B_j^k \cdot
A_k^i
Cambios de base,
transformaciones
;

;

;

;
\vec a=x^ie_i ; \vec a=x'^
ie'_i

e_j'=M^{-1}|_j^i e_i ; x'^j=
M_j^i x^i

\bar a=x_ie^i ; \bar a=x'_i
e'^i

e^j'= M_i^j e^i ; x'^j=M
^{-1}|_i^jx^i
Delta de Kronecker

\delta_j^i=M_k^i M^{-1}|_j^k

\delta_j^i=\left \{ \begin{aligned} 0 &
\text{ } & i \neq j \\
1 &\text{ } & i=j
\end {aligned}
\right \cdot
Aplicaciones lineales
espacio dual
(producto y propiedad
distributiva)


\bar y \cdot (\alpha \vec{x_1}+\beta
\vec{x_2})=\alpha \bar y \cdot \vec{x_1}+
\beta \bar y \cdot \vec{x_2}

(\alpha \bar {y_1}+\beta \bar{y_2})
\cdot \vec x =\alpha \bar {y_1}\cdot \vec x
+\beta \bar{y_2} \cdot \vec x
Invarianza del
producto escalar
\bar y' \cdot \vec x' =M^{-1} \cdot \bar
y \cdot M \cdot \vec x= M^{-1} \cdot M \cdot
\bar y \cdot \vec x= I \cdot \bar y \cdot \vec x
= \bar y \cdot \vec x
Transformación
de vectores
contravariantes
en covariantes
;
= matriz de la métrica
x_i=g_{ij} x^i ; g_{ij}
= matriz de la métrica
Transformación
de vectores
covariantes
en contravariantes
;
=inversa de la matriz de la métrica
x^i=g^{ij} x_i ; g^{ij}
=inversa de la matriz de la métrica
Métrica y la inversa ; g_{ij}=[g^{ij}]^-1 ; g^{ij}
=[g_{ij}]^-1
Transformación
de la métrica por
cambio de base


g'_{ij}=M^{-1}|_i^k \cdot M^{-1}|_j^l
\cdot g_{kl}

g'^{ij}=M_k^i \cdot M_l^j \cdot g^{kl}
Producto escalar
de vectores
contravariantes
\vec x \cdot \vec y =g_{ij} x^i y^j= x_i
y^j
Producto escalar
de vectores
covariantes
\bar x \cdot \bar y =g^{ij} x_i y_j= x^i
y_j
Norma de vectores
contravariantes
\vec x \cdot \vec x =g_{ij} x^i x^j= x_i
x^j=|\vec x|^2
Norma covariantes \bar x \cdot \bar x =g^{ij} x_i x_j= x^i
x_j=|\bar x|^2
Angulo entre
vectores
\cos \varphi =\dfrac {\vec x \cdot \vec y}
{|\vec x| \cdot |\vec y|}
Base de vectores
ortonormal
; g_{ij}=\delta_{ij} ; x^iy^i=}
x_iy_i=\vec x \cdot \vec y= \bar x \cdot \bar y
Distancia

D=|\vec y -\vec x |

|\vec y -\vec x |^2=( \vec y -\vec x )\cdot
(\vec y - \vec x)
Elemento de linea \dd s^2=|\dd \vec x|^2=\dd x^i \dd x^j
\delta_{ij}= \dst \sum_1^n (\dd x^i)^2
Transformaciones
ortonormales
\delta_{ij}=M^{-1}|_i^k \cdot M^{-1}|_j^
l \cdot \delta_{kl}\Rightarrow M^T|_j^i=M^{-1}
|_j^i \ldots |M|=\pm1
Algebra Tensorial
Invarianza escalar \phi'_{(x'^i)}=\phi_{(x^i)}
Transformación
Tensor
contravariante
rango 2
\dst T'^{ij}=a'^ib'^j=M^i_ka ^kM^j_la^l=M
^i_kM^j_la^ka^l=M^i_kM^j_lT^{kl}
Transformación
tensor
covariante
rango 2
\dst T'_{ij}=a'_ib'_j=M^{-1}|_i^ka_kM^{-1}
|_j^la_l= M^{-1}|_i^kM^{-1}|_j^la_ka_l=M^{-1}
|_i^kM^{-1}|_j^lT_{kl}
Suma Y
Producto lineal
\dst C_{j_1, \idots j_n}^{i_1,
\cdot \cdot \cdot ,i_m}=\alpha A_
{j_1, \idots j_n}^{i_1, \idots ,i_m}+\beta B_{j_1, \idots j_n}^{
i_1, \idots ,i_m}
Propiedad distributiva \dst C_{j_1, \idots j_n}^{i_1, \idots ,i_m}=\alpha A_}
{j_1, \idots j_n}^{i_1, \idots ,i_m}+\beta A_{j_1, \idots j_n}^{i_
1, \idots ,i_m}=(\alpha +\beta )A_{j_1, \idots j_n}^{i_1, \cdot \cdot
\cdot ,i_m}
Producto \dst \alpha \beta C_{j_1, \idots j_n}^{i_1, \idots ,i_m
}_{k_1, \idots k_p}^{l_1, \idots ,l_q}=\alpha A_{j_1, \idots j_n}
^{i_1, \idots ,i_m}\beta B_{k_1, \idots k_p}^{l_1, \idots ,l_q}
Simetría ;

\dst T_{ij}=T_{ji} ;

T^{ij}=T^{ji}
Antisimetria ;

;

\dst T_{ij}=-T_{ji} ;

T^{ij}=-T^{ji} ;

T_{ii}=T^{ii}=0
Contracción

\dst A_{j_1, \idots j_n,k}^{i_1, \idots ,i_m,k}=
C_{j_1, \idots j_n}^{i_1, \idots ,i_m}

\dst \delta_{kl} A_{j_1, \idots j_n,k,l}^{i_1, \cdot \cdot \cdot ,i_m}
=C_{j_1, \idots j_n}^{i_1, \idots ,i_m}
Bajar indices \dst \delta_{kl} A_{j_1, \idots j_n,l}^{i_1, \idots ,i_m}
=C_{k,j_1, \idots j_n}^{i_1, \idots ,i_m}
Traza, escalar=
tensor rango 0
T^i_i=\delta_{ij}T^{ij}=\delta^{ij}T_{ij}
Operador derivada
vector covariante
\dst \dfrac{\partial \varphi}{\partial x^i}=
\dfrac{\partial \varphi}{\partial x'^j}\cdot\dfrac
{\partial x'^j}{\partial x^i}=\dfrac{\partial
\varphi}{\partial x'^j}M_i^k
Diferencial
covariante
transformación
;

\partial'_i \varphi=M^{-1}|^j_i
\partial_j \varphi ;

\mathbb{R}_n^m\to \mathbb{R}
_n^{m+1}
Diferencial
contravariante
transformación
;

\partial'^i \varphi=M_j^i \partial^j \varphi ;

\mathbb{R}_n^m\to \mathbb{R}_
{n+1}^{m}
Derivada Direccional \vec {\nabla}=(\partial^i)\vec e_i
Gradiente
(vector
contravariante)
\vec {\nabla}\phi =\partial^i\phi \vec e_i
Divergencia (escalar) \vec {\nabla} \cdot \vec A= \partial_i A^i
Laplaciano \Delta \Phi =\vec {\nabla} \cdot \vec {\nabla}
\Phi= \partial_i \partial^i\Phi
Rotacional Rotor \vec {\nabla}\times \vec {A}= \epsilon^
{ijk}\partial_jA^k
Descomposición
de un Tensor
grado 2 en
simétrico y
antisimétrico
T_{ij}=\dfrac 12 (T_{ij}+T_{ji}) +\dfrac
12 (T_{ij}-T_{ji})= S_{ij}+A_{ij}
Geometría diferencial
Transformación local
de la base de
vectores
contravariantes
e_{\mu}=\dfrac{\partial x^i}{\partial y^{\mu}}e_i=M^i_{\mu} e_i
Transformación
local de la base de
vectores covariantes
e^{\mu}=\dfrac{\partial y^{\mu}}
{\partial x^i}e^i=M^{-1}|_i^{\mu} e^i
Transformación
local de vectores
contravariantes
V^{\mu}=\dfrac{\partial y^{\mu}}
{\partial x^i}V^i=M^{-1}|_i^{\mu} V^i
Transformación
local de vectores
covariantes
V^{\mu}=\dfrac{\partial y^{\mu}}
{\partial x^i}V^i=M^{-1}|_i^{\mu} V^i
Transformación
local de la métrica
plana






; ;
e^{\mu}e_{\nu}=\delta^{\mu}_{\nu}

g_{\mu \nu}=\dfrac{\partial x^i}
{\partial y^{\mu}}\cdot\dfrac{\partial x^j}
{\partial y^{\nu}}\cdot \delta_{ij}

g^{\mu \nu}=\dfrac{\partial y_{\mu}}
{\partial x_i}\cdot\dfrac{\partial y_{\nu}}
{\partial x_j}\cdot \delta^{ij}

e_ie_j=g_{ij} ; e^ie^j=
g^{ij} ; [g_{ij}]^{-1}=g^{ij}
Transformación
local de la métrica
de una variedad






\dfrac{\partial y^{\alpha}}{\partial x_{\mu}}
\cdot\dfrac{\partial x_{\nu}}{\partial y^{\beta}}
=\delta^{\alpha}_{\beta}

g_{\alpha \beta}=\dfrac{\partial x^i}
{\partial y^{\alpha}}\cdot\dfrac{\partial x^j}
{\partial y^{\beta}}\cdot g_{ij}

g^{\alpha \beta}=\dfrac{\partial y_i}
{\partial x_{\alpha}}\cdot\dfrac{\partial y_j}
{\partial x_{\beta}}\cdot g^{ij}

[g]^{-1}_{\alpha \beta}=g^{\alpha \beta}
Subir indices V_{\mu}=g_{\mu \nu} V^{\nu}
Bajar indices V^{\mu}=g^{\mu \nu} V_{\nu}
Producto escalar \bar V \cdot\vec W= V_{\mu}W^{\mu}=
g_{\mu \nu} V^{\mu}W^{\mu}
Operador diferencial
(regla de la cadena)
Conexion de Levi-Civita
\partial \vec V=(\partial_{\mu}V^{\nu})
e_{\nu} + V^{\nu}(\partial_{\mu}e_{\nu})=
(\partial_{\mu}V^{\rho}+V^{\nu} \Gamma
^{\rho}_{\mu \nu})e_{\rho}
Símbolos Christoffels
Conexion de Levi-Civita
;

\partial_{\mu}e_{\nu}=\Gamma^{\rho}
_{\mu \nu}e_{\rho} ;

\Gamma^{\rho}_{\mu \nu}=\frac 12
g^{\rho \lambda}(\partial_{\mu}g_{ \lambda \nu}
+\partial_{\nu}g_{ \mu \lambda}-\partial_{\lambda}g
_{ \mu \nu})
Transformación
Local de Tensores
\dst T^{\mu_1, \idots ,\mu_N}_{\nu_1, \idots ,\nu_M}=
\dfrac{\partial x^{\mu_1}}{\partial y^{\alpha_1}}
\cdot \cdot \cdot \dfrac{\partial x^{\mu_N}}
{\partial y^{\alpha_N}}\cdot \dfrac{\partial y^
{\beta_1}}{\partial x^{\nu_1}}\cdot \cdot \cdot
\dfrac{\partial y^{\beta_M}}{\partial x^{\nu_m}
}\cdot T^{\alpha_1, \idots ,\alpha_N}_{\beta_1, \cdot \cdot \cdot
,\beta_M}
Transformación de
la derivada de un
campo escalar


\partial_{\alpha}\phi=\dfrac{\partial \phi}
{\partial y^{\alpha}}=\dfrac{\partial \phi}
{\partial x^{\mu}}\cdot \dfrac{\partial x^
{\mu}}{\partial y^{\alpha}}= M_{\alpha}^
{\mu}\cdot \dfrac{\partial \phi}{\partial x^
{\mu}}=M_{\alpha}^{\mu}\partial_{\mu}\phi

\partial^{\mu}\phi=g^{\mu \nu}\partial
_{\mu}\phi
Transformación de
la derivada de
vectores
\partial_{\alpha}V^{\beta}=\dfrac{\partial
x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}\cdot \partial
\mu \left (\dfrac{\partial y^{\beta}}{\partial
x^{\nu}}\cdot V^{\nu} \right )=\dfrac{\partial
x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}\cdot\partial
\mu V^{\nu}\cdot\dfrac{\partial y^{\beta}}
{\partial x^{\nu}}+\dfrac{\partial x^{\mu}}
{\partial y^{\alpha}} \cdot V^{\nu} \cdot \dfrac
{\partial^2 y^{\beta}}{\partial x^{\nu}\partial
x^{\mu}}
Derivada covariante
de un vector
contravariante
\dst \nabla_{\nu}V^{\mu}=\partial_
{\nu}V^{\mu}+ \Gamma^{\mu}_
{\nu \rho}V^{\rho}
Derivada covariante
de un vector
covariante
\dst \nabla_{\nu}V_{\mu}=\partial_
{\nu}V_{\mu}- \Gamma^{\rho}_
{\nu \mu}V_{\rho}
Propiedad distributiva
de la derivada covariante
\nabla_{\mu}(\alpha V^{\nu}+\beta W^{\nu})
=\alpha \nabla_{\mu}\alpha V^{\nu} +\beta
\nabla_{\mu} W^{\nu}
Producto de Liebniz \nabla_{\mu}( V^{\nu}\cdot W^{\rho})=
(\nabla_{\mu} V^{\nu})\cdot W^{\rho}+V^{\nu}
\cdot (\nabla_{\mu} W^{\rho})
Transformación de
la derivada covariante
\nabla_{\alpha}V^{\gamma}=\dfrac{\partial
x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}\cdot \dfrac{\partial
y^{\gamma}}{\partial x^{\rho}}\nabla_{\mu}V^
{\rho}
Transformación de
los Christoffel
\Gamma^{\gamma}_{\alpha \beta}=\dfrac
{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}\cdot \dfrac
{\partial x^{\nu}}{\partial y^{\beta}}\cdot\dfrac{
\partial y^{\gamma}}{\partial x^{\rho}}\Gamma
^{\rho}_{\mu \nu}-\dfrac{\partial^2 y^{\gamma}}
{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}}\cdot \dfrac{
\partial x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}\cdot \dfrac
{\partial x^{\nu}}{\partial y^{\beta}}
Derivada covariante
de un tensor
contravariante grado 2
\dst \nabla_{\mu}T^{\nu \rho}=\partial_
{\mu}T^{\nu \rho}+ \Gamma^{\nu}_{ \mu
\lambda}T^{\nu \lambda}+\Gamma^{\rho}
_{ \mu \lambda}T^{\nu \lambda}
Derivada covariante
de un tensor co-
contravariante grado 1,1
\dst \nabla_{\rho}T^{\mu}_{ \nu}=
\partial_{\rho}T^{\mu}_{ \nu}+ \Gamma^
{\mu}_{ \rho \lambda}T^{\lambda}_{\nu}-
\Gamma^{\lambda}_{ \nu \rho}T^{\mu}_
{ \lambda}
Conmutador de las derivadas
covariantes de un vector




[\nabla_i ,\nabla_j] V^k=R_{ijl}^{k}V^l-
T_{ij}^l\nabla_l V^k

[\nabla_i ,\nabla_j] V^{k}=\partial_i \Gamma^
k_{jl}V^{l}-\partial_j\Gamma^k_{il}V^{l}+\Gamma^
k_{il} \Gamma^l_{jm}V^{m}- \Gamma^k_{jl}\Gamma^
l_{im}V^{m}-\Gamma^l_{ij} \nabla_l V^k+\Gamma^
l_{ji}\nabla_l V^k

[\nabla_i ,\nabla_j] V^{k}=R_{ijl}{k}V^k-T_{ij}^
l \nabla_l V^k
Conmutador de las derivadas
covariantes de un
campo escalar
[\nabla_i ,\nabla_j] \phi =
-T^k_{ij}\nabla_k \phi
Conmutador de las
derivadas covariantes de un
tensor de rango (m,n)




[\nabla_i ,\nabla_j] ^{k_1 \idots k_m}_{l_1 \cdot \cdot \cdot l_n}=

R_{ijp}^{k_1}S^{p,k_2 \idots k_m}_{l_1 \idots l_n}+
\cdot \cdot \cdot+R_{ijp}^{k_m}S^{k_1 \idots k_{m-1},p}_
{l_1 \idots l_n}-R_{ijl_1}^{p}S^{k_1 \idots k_m}_
{p,l_2 \idots l_n}-\cdot

\cdot \cdot-R_{ijl_n}^{p}S^{k_1 \idots k_m}_
{l_1 \idots l_{n-1},p}-T_{ij}^p\nabla_p S^{k_1 \cdot \cdot \cdot
k_m}_{l_1 \idots l_n}
Identidad de Jacobi [\nabla_i ,\nabla_j],\nabla_k]+
[\nabla_j ,\nabla_k],\nabla_i]+
[\nabla_k ,\nabla_i],\nabla_j]=0
Primera identidad de Bianchi
(identidad de Jacobi
sobre un escalar)
R_{ijk}^l+R_{jki}^l+R_{kij}^l-\nabla
_i T^l_{jk}-\nabla_j T^l_{ki}-\nabla_k T^l_{ij
}+T^m_{ij}T^l_{km}+T^m_{jk}T^l_{im}+T
^m_{ki}T^l_{jm}=0
Segunda identidad de Bianchi
(identidad de jacobi
sobre un vector contravariante)
\nabla_i R_{jkm}^l+\nabla_j R_{kim}^l
+\nabla_k R_{ijm}^l-T^p_{ij} R_{kpm}^l
-T^p_{jk} R_{ipm}^l-T^p_{ki} R_{jpm}^l=0
Escalar de Ricci R=g^{ij}R_{ij}
Algebra tensorial con la conexión Levi Civita
Simetría de los Christoffels \Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}
Derivada covariante de la métrica \nabla_kg_{ij}=0
Conmutador de las derivadas
covariantes de un vector


[\nabla_i ,\nabla_j] V^k=R_{ijl}^{k}V^l

[\nabla_i ,\nabla_j] V^{k}=\partial_i }
\Gamma^k_{jl}V^{l}-\partial_j\Gamma^k_{il}V^{l}+\Gamma^k_{il}
\Gamma^l_{jm}V^{m}
- \Gamma^k_{jl}\Gamma^l_{im}V^{m}
Tensor de Riemann R_{ijl}^{k}=\partial_i \Gamma^k_{jl}
-\partial_j\Gamma^k_{il}+\Gamma^k_{im}
\Gamma^m_{jl}- \Gamma^k_{jm}
\Gamma^m_{il}
Tensor de torsión T_{ij}^l=+\Gamma^l_{ij}
-\Gamma^l_{ji}=0
Tensor de Einstein G_{uv}=T_{uv}+\dfrac 12 g_{uv}G
Conmutación de la
derivada covariante
g_{\mu\nu}\nabla_{\rho}S^{\mu\nu}
=\nabla_{\rho}g_{\mu\nu}S^{\mu\nu})
=\nabla_{\rho}}S^{\mu}_{\mu}
Simetrias y antisimetrías
del tensor de Riemann




R_{ijkl}=R_{lkij}

R_{ijkl}=-R_{jikl}

R_{ijkl}=-R_{ijlk}
Conmutador de las
derivadas covariantes
de la métrica
[\nabla_i ,\nabla_j] g_{kl}=0
Primer Identidad de
Bianchi
R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0
Segunda Identidad de
Bianchi
\nabla_iR_{jklm}+\nabla_jR_{kilm}
+\nabla_kR_{ijlm}=0
Tensores
Tensor de Faraday