Teniendo en cuenta el Principio Cosmológico y el Postulado de Weyl se puede establecer un ansatz simétrico para la métrica del espacio-tiempo .



donde es la métrica de

de esta manera el tensor de Riemann de esta métrica cumple que



y que el tensor de Ricci sera



esto verifica que se cumple la condición de ser un espacio con cantidad máxima de simetrías y con curvatura constante.

Además la isotropía del espacio tiene implicancia en que el ansatz debe contar con simetría esférica.

asi se propone en



Los símbolos de Christoffel no nulos para este ansatz son
con ellos hallamos las componentes no triviales del tensor de Ricci



De estas ecuaciones se desprende que



y



de estas dos se obtiene que



reemplazando en el ansatz tenemos que



que nos da la parte espacial de la métrica FRLW



Obtención de la ecuaciones de Friedmann a partir de la métrica FRLW


La métrica FLRW se compone en una componente temporal y de una espacial proveniente deducción anterior , pero multiplicada por un factor de escala exclusivamente dependiente del tiempo .



Y su inversa es




El primer paso para obtener las ecuaciones de Friedmann consiste en hallar los componentes de la conexión de Levi Civita, osea los símbolos de Christofel

Como dato necesitamos calcular las derivadas de las componentes de la métrica con respecto a las coordenadas del sistema de referencia.

Nombramos {0,1,2,3} a la serie de componentes {}










El cálculo de los símbolos de Christofel se hace mediante la fórmula


Ej





de donde



Los resultados no triviales del total de los 64 símbolos de Christoffel son

Luego tenemos que obtener la derivada parcial de cada uno de los símbolos de Christoffel con respecto a cada componente del sistema de referencia, las no triviales son
Así con la siguiente fórmula calculamos cada de las 256 componentes del tensor de Riemann


Los resultados no triviales son:
Para aplicar las ecuaciones de Einstein y obtener las ecuaciones de Friedmann debe calcularse el Tensor de Ricci y el Escalar de Ricci

El tensor de Ricci surge de la contracción del tensor de Riemann, en su índice superior y el segundo inferior





Así sus componentes quedan
Luego el escalar surge de contraer los dos indices restantes pero como son ambos inferior no se puede hacer sumación directa , se lo debe multiplicar por la matriz inversa de la métrica para obtener la contracción.

Así





de aquí simplificando se obtiene


El tensor de energía momento





Así escrito esta en función del las coordenadas (t,x,y,z) para llevarlo a las coordenadas polares debemos multiplicar este tensor por su matriz de transformación

Entonces el tensor en coordenadas polares queda



Utilizando la ecuación de Einstein


Obtenemos 16 ecuaciones de las cuales 12 son triviales, del las 4 restantes tres son similares osea a base de simplificaciones de una se obtienen exactamente las otras y otra diferente.

Asi las no triviales son





reemplazando