Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann

[Richard R Richard]

Teniendo en cuenta el Principio Cosmológico y el Postulado de Weyl se puede establecer un ansatz simétrico para la métrica del espacio-tiempo .

$\dd s^2= \dd t^2 - S(t)^2g_{ij}\dd x^i \dd x^j$

donde $g_{ij}$ es la métrica de $\mathbb{R}^3$

de esta manera el tensor de Riemann de esta métrica cumple que

$R_{ijkl}=k(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})$

y que el tensor de Ricci sera

$R_{ij}=-2kg_{ij}$

esto verifica que se cumple la condición de ser un espacio con cantidad máxima de simetrías y con curvatura constante.

Además la isotropía del espacio tiene implicancia en que el ansatz debe contar con simetría esférica.

asi se propone en $\mathbb{R}^3$

$\dd s^2= e^{2B(r)}\dd r^2+ r^2(\dd \theta^2 + sin^2 \theta \dd\phi^2)$

Los símbolos de Christoffel no nulos para este ansatz son

$\Gamma^r_{rr}=B'$	$\Gamma^{\theta}_{r\theta}=\Gamma^{\phi}_{r\phi}=\dfrac 1r$
$\Gamma^{r}_{\theta\theta}=-r e^{-2B}$	$\Gamma^{\theta}_{\phi\phi}=-\sin \theta \cos \theta$
$\Gamma^{r}_{\phi\phi}=-r sin^2\theta e^{-2B}$	$\Gamma^{\phi}_{\theta\phi}=\cot \theta$

con ellos hallamos las componentes no triviales del tensor de Ricci

$\left\{\begin{aligned}R_{rr}&=-\dfrac{2B'}{r}\\R_{\theta\theta}&=-1 + e^{-2B} - rB'e^{-2B}\\R_{\phi\phi}&=\sin^2\theta(-1 + e^{-2B} - rB'e^{-2B})\end{aligned}\right.$

De estas ecuaciones se desprende que

$\dfrac {B'}{r}= ke^{2B}$

y

$-e^{-2B}(1-rB')+1=2kr^2$

de estas dos se obtiene que

$e^{2B}=\dfrac1{1-kr^2}$

reemplazando en el ansatz tenemos que

$\dd s^2= \dfrac1{1-kr^2}\dd r^2+ r^2(\dd \theta^2 + sin^2 \theta \dd\phi^2)$

que nos da la parte espacial de la métrica FRLW



Obtención de la ecuaciones de Friedmann a partir de la métrica FRLW


La métrica FLRW se compone en $\mathbb{R}^3_1$ una componente temporal y de una espacial proveniente deducción anterior , pero multiplicada por un factor de escala exclusivamente dependiente del tiempo .

$\dst{ [g_{uv}]=\begin{bmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- k r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2 r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 r^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}}$

Y su inversa es

$\dst{ [g^{uv}]=\begin{bmatrix}\frac 1{-c^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac {(1- k r^2)} {a^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac 1{a^2 r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac 1{ a^2 r^2 \sin^2 \theta}\end{bmatrix}}$


El primer paso para obtener las ecuaciones de Friedmann consiste en hallar los componentes de la conexión de Levi Civita, osea los símbolos de Christofel

Como dato necesitamos calcular las derivadas de las componentes de la métrica con respecto a las coordenadas del sistema de referencia.

Nombramos {0,1,2,3} a la serie de componentes {$t,r,\theta,\phi$}


$\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_t}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2a\dot a}{(1- k r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2a\dot ar^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2a\dot a r^2 \sin^2 \theta\end{bmatrix}}$

$\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_r}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{ a^2k2r}{(1- k r^2)^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2a^2r & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2a^2r \sin^2 \theta\end{bmatrix}}$

$\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_\theta}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2a^2r^2\sin \theta \cos\theta \end{bmatrix}}$

$\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_\phi}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}$

El cálculo de los símbolos de Christofel se hace mediante la fórmula

$$\Gamma_{ij}^m=\dfrac12 g^{km}\left (\partial_i g_{jk}+\partial_j g_{ik}-\partial_k g_{ij} \right )$$

Ej

$$\Gamma_{12}^0=\dfrac12 g^{k0}\left (\partial_2 g_{2k}+\partial_2 g_{1k}-\partial_k g_{12} \right )=$$

$\Gamma_{12}^0=\dfrac12 g^{00}\left (\partial_2 g_{20}+(\partial_2 g_{10}-(\partial_0 g_{12} \right )+$$\dfrac12 g^{10}\left (\partial_2 g_{21}+(\partial_2 g_{11}-(\partial_1 g_{12} \right )+$$\dfrac12 g^{20}\left (\partial_2 g_{22}+(\partial_2 g_{12}-(\partial_2 g_{12} \right )+$$\dfrac12 g^{30}\left (\partial_2 g_{23}+(\partial_2 g_{13}-(\partial_3 g_{12} \right )$

de donde

$\Gamma_{12}^0=0$

Los resultados no triviales del total de los 64 símbolos de Christoffel son

$\Gamma^1_{01}=\dfrac {\dot a}{a}$	$\Gamma^2_{02}=\dfrac {\dot a}{a}$	$\Gamma^3_{03}=\dfrac {\dot a}{a}$	$\Gamma^1_{10}=\dfrac {\dot a}{a}$
$\Gamma^0_{11}=\dfrac{a\dot a}{c^2(1-kr^2)}$	$\Gamma^1_{11}=\dfrac{kr}{1-kr^2}$	$\Gamma^2_{12}=\dfrac {1}{r}$	$\Gamma^3_{13}=\dfrac{1}{r}$
$\Gamma^2_{21}=\dfrac {1}{r}$	$\Gamma^2_{20}=\dfrac {\dot a}{a}$	$\Gamma^0_{22}=\dfrac{a\dot ar^2}{c^2}$	$\Gamma^1_{22}=-r(1-kr^2)$
$\Gamma^3_{23}=\dfrac{\cos\theta }{\sin\theta }$	$\Gamma^3_{30}=\dfrac {\dot a}{a}$	$\Gamma^3_{31}=\dfrac {1}{r}$	$\Gamma^3_{32}=\dfrac{\cos\theta }{\sin\theta }$
$\Gamma^0_{33}=\dfrac{a\dot ar^2\sin^2\theta}{c^2}$	$\Gamma^1_{33}= -(1-kr^2)r\sin^2\theta$	$\Gamma^2_{33}=-\sin\theta \cos\theta$

Luego tenemos que obtener la derivada parcial de cada uno de los símbolos de Christoffel con respecto a cada componente del sistema de referencia, las no triviales son

$\partial_0\Gamma^0_{11}=\dfrac{\dot a^2+\ddot aa}{c^2(1-kr^2)}$	$\partial_1\Gamma^0_{11}=\dfrac{a\dot a2kr}{c^2(1-kr^2)^2}$	$\partial_0\Gamma^0_{22}=\dfrac{(\dot a^2+\ddot aa)r^2}{c^2}$	$\partial_1\Gamma^0_{22}=\dfrac{a\dot a2r}{c^2}$
$\partial_0\Gamma^0_{33}=\dfrac{(\dot a^2+\ddot aa)r^2\sin^2\theta}{c^2}$	$\partial_1\Gamma^0_{33}=\dfrac{a\dot a2r\sin^2\theta}{c^2}$	$\partial_2\Gamma^0_{33}=\dfrac{a\dot ar^2\sin\theta\cos\theta}{c^2}$	$\partial_0\Gamma^1_{01}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$
$\partial_0\Gamma^1_{10}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^1_{11}=\dfrac{2k^2r^2}{(1-k r^2)^2}+\dfrac{k}{1-kr^2}$	$\partial_1\Gamma^1_{22}=3kr^2-1$	$\partial_1\Gamma^1_{33}=(3kr^2-1)\sin^2\theta$
$\partial_2\Gamma^1_{33}=-(1-kr^2)2r\sin\theta\cos\theta$	$\partial_0\Gamma^2_{02}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^2_{12}=\dfrac{-1}{r^2}$	$\partial_0\Gamma^2_{20}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$
$\partial_1\Gamma^2_{21}=\dfrac{-1}{r^2}$	$\partial_2\Gamma^2_{33}=\sin^2\theta-\cos^2\theta$	$\partial_0\Gamma^3_{03}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^3_{13}=\dfrac{-1}{r^2}$
$\partial_2\Gamma^3_{23}=\dfrac{-1}{\sin^2\theta}$	$\partial_0\Gamma^3_{30}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}$	$\partial_1\Gamma^3_{31}=\dfrac{-1}{r^2}$	$\partial_2\Gamma^3_{32}=\dfrac{-1}{\sin^{2}\theta}$

Así con la siguiente fórmula calculamos cada de las 256 componentes del tensor de Riemann

$$R_{ijl}^{k}=\partial_i \Gamma^k_{jl}-\partial_j\Gamma^k_{il}+\Gamma^k_{im} \Gamma^m_{jl}- \Gamma^k_{jm} \Gamma^m_{il}$$

Los resultados no triviales son:

$R^1_{001}=\dfrac{\ddot a }{a}$	$R^2_{002}=\dfrac{\ddot a }{a}$	$R^3_{003}=\dfrac{\ddot a }{a}$	$R^1_{010}=\dfrac{ -\ddot a }{a}$
$R^2_{020}=\dfrac{ -\ddot a }{a}$	$R^3_{030}=\dfrac{ -\ddot a }{a}$	$R^0_{101}=\dfrac{\ddot a a}{c^2(1-kr^2)}$	$R^0_{110}=\dfrac{-\ddot a a}{c^2(1-kr^2)}$
$R^2_{112}=\dfrac{\dfrac{ -\dot a^2}{c^2} -k}{(1-kr^2)}$	$R^3_{113}=\dfrac{\dfrac{-\dot a^2}{c^2} -k }{(1-kr^2)}$	$R^2_{121}=\dfrac{\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +k}{(1-kr^2)}$	$R^3_{131}=\dfrac{ \dfrac{\dot a^2}{c^2} +k }{(1-kr^2)}$
$R^0_{202}=\dfrac{\ddot a ar^2}{c^2}$	$R^0_{212}=\dfrac{-a\dot a 2r}{c^2}$	$R^1_{212}=(k+\dfrac{\dot a^2}{c^2})r^2$	$R^0_{220}=\dfrac{-\ddot a ar^2}{c^2}$
$R^0_{221}=\dfrac{a\dot a 2r}{c^2}$	$R^1_{221}=(-k-\dfrac{\dot a^2}{c^2})r^2$	$R^3_{223}=\left(\dfrac{ -\dot a^2}{c^2} -k \right ) r^2$	$R^3_{232}=\left(\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +k\right ) r^2$
$R^0_{303}=\dfrac{\ddot a ar^2\sin^2 \theta}{c^2}$	$R^1_{313}=\left(k+\dfrac{\dot a^2}{c^2}\right ) r^2\sin^2 \theta$	$R^0_{323}=\dfrac{-a\dot a r^2\sin \theta \cos \theta}{c^2}$	$R^2_{323}=\left ( \dfrac{\dot a^2}{c^2} +k \right ) r^2\sin^2 \theta$
$R^0_{330}=\dfrac{-\ddot a ar^2\sin^2 \theta}{c^2}$	$R^1_{331}=\left(-k-\dfrac{\dot a^2}{c^2}\right )r^2\sin^2 \theta$	$R^0_{332}=\dfrac{a\dot a r^2\sin \theta\cos \theta}{c^2}$	$R^2_{332}=\left (\dfrac{-\dot a^2}{c^2} -k \right ) r^2\sin^2 \theta$

Para aplicar las ecuaciones de Einstein y obtener las ecuaciones de Friedmann debe calcularse el Tensor de Ricci y el Escalar de Ricci

El tensor de Ricci surge de la contracción del tensor de Riemann, en su índice superior y el segundo inferior

$$R_{ij}=R^m_{imj}= R^0_{i0j}+ R^1_{i1j}+ R^2_{i2j}+ R^3_{i3j}$$

Así sus componentes quedan

$R_{00}=\dfrac{-3\ddot a}{a}$	$R_{10}=0$	$R_{20}=0$	$R_{30}=0$
$R_{01}=0$	$R_{11}=\dfrac{\dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +2k}{1-kr^2}$	$R_{21}=0$	$R_{31}=0$
$R_{02}=0$	$R_{12}=0$	$R_{22}=(\dfrac{\dot aa}{c^2} + 2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2$	$R_{32}=0$
$R_{03}=0$	$R_{13}=0$	$R_{23}=0$	$R_{33}=(\dfrac{\ddot aa}{c^2} +2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2\sin^2\theta$

Luego el escalar surge de contraer los dos indices restantes pero como son ambos inferior no se puede hacer sumación directa , se lo debe multiplicar por la matriz inversa de la métrica para obtener la contracción.

Así

$R= \dst{\left [g^{uv}\right ] \cdot \left [R_{uv}\right]}=$

$\begin{bmatrix}\frac1{–c^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{(1- k r^2)} {a^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac 1{a^2 r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\frac 1{ a^2 r^2 \sin^2 \theta}\end{bmatrix}$$\cdot \begin{bmatrix} \dfrac{-3\ddot a}{a}& 0 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{\dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +2k}{1-kr^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (\dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2& 0 \\ 0 & 0 & 0 & (\dfrac{\ddot aa}{c^2} +2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2\sin^2\theta \end{bmatrix}$

de aquí simplificando se obtiene

$$R=\dfrac 6{a^2c^2}(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 + k c^2)$$

El tensor de energía momento


$\dst{[T]=\begin{bmatrix} -\delta c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{bmatrix}}$


Así escrito esta en función del las coordenadas (t,x,y,z) para llevarlo a las coordenadas polares debemos multiplicar este tensor por su matriz de transformación $[M^{-1}]^2=[g^{uv}]$

Entonces el tensor en coordenadas polares queda

$\dst{[{T}']=\begin{bmatrix} + \delta c^4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac {pa^2}{1-kr^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {pa^2}r^2& 0 \\ 0 & 0 & 0 & {pa^2}r^2\sin^2\theta \end{bmatrix}}$

Utilizando la ecuación de Einstein

$$R_{ij} - \dfrac 12 g_{ij} R+ \Lambda g_{ij} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{ij}$$

Obtenemos 16 ecuaciones de las cuales 12 son triviales, del las 4 restantes tres son similares osea a base de simplificaciones de una se obtienen exactamente las otras y otra diferente.

Asi las no triviales son

$$R_{00} - \dfrac 12 g_{00} R+ \Lambda g_{00} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{00}$$

$$R_{11} - \dfrac 12 g_{11} R+ \Lambda g_{11} =\dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{11}$$

$$R_{22} - \dfrac 12 g_{22} R+ \Lambda g_{22} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{22}$$

$$R_{33} - \dfrac 12 g_{33} R+ \Lambda g_{33} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{33}$$

reemplazando

$$\dfrac{-3\ddot a}{a}-\dfrac 12 (\dfrac {6(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 +k c^2)}{a^2c^2})\cdot(-c^2) +\Lambda \cdot(-c^2)= \dfrac {8\pi G}{c^4} \cdot(c^4)\delta$$

$$\dst{\dfrac{ \dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +2k}{1-kr^2}- \dfrac 12 \frac{a^2}{1- k r^2} \cdot (\dfrac {6(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 +k c^2)}{a^2c^2}) + \Lambda \frac{a^2}{1- k r^2}= \dfrac {8\pi Ga^2p}{c^4(1- k r^2)}}$$