donde es la métrica de
de esta manera el tensor de Riemann de esta métrica cumple que
y que el tensor de Ricci sera
esto verifica que se cumple la condición de ser un espacio con cantidad máxima de simetrías y con curvatura constante.
Además la isotropía del espacio tiene implicancia en que el ansatz debe contar con simetría esférica.
asi se propone en
Los símbolos de Christoffel no nulos para este ansatz son
De estas ecuaciones se desprende que
y
de estas dos se obtiene que
reemplazando en el ansatz tenemos que
que nos da la parte espacial de la métrica FRLW
Obtención de la ecuaciones de Friedmann a partir de la métrica FRLW
La métrica FLRW se compone en una componente temporal y de una espacial proveniente deducción anterior , pero multiplicada por un factor de escala exclusivamente dependiente del tiempo .
Y su inversa es
El primer paso para obtener las ecuaciones de Friedmann consiste en hallar los componentes de la conexión de Levi Civita, osea los símbolos de Christofel
Como dato necesitamos calcular las derivadas de las componentes de la métrica con respecto a las coordenadas del sistema de referencia.
Nombramos {0,1,2,3} a la serie de componentes {}
El cálculo de los símbolos de Christofel se hace mediante la fórmula
Ej
de donde
Los resultados no triviales del total de los 64 símbolos de Christoffel son
Los resultados no triviales son:
El tensor de Ricci surge de la contracción del tensor de Riemann, en su índice superior y el segundo inferior
Así sus componentes quedan
Así
de aquí simplificando se obtiene
El tensor de energía momento
Así escrito esta en función del las coordenadas para llevarlo a las coordenadas esféricas del espacio curvo debemos multiplicar este tensor por su matriz de transformación
Entonces el tensor en coordenadas esféricas queda
Utilizando la ecuación de Einstein
Obtenemos 16 ecuaciones de las cuales 12 son triviales, del las 4 restantes tres son similares osea a base de simplificaciones de una se obtienen exactamente las otras y otra diferente.
Asi las no triviales son
reemplazando