Deducción de la Métrica de Schwardchild

La métrica de Schwardchild es el resultado de las ecuaciones de campo de Einstein que describe como es el espacio-tiempo en la cercanía de un objeto esférico con masa estático.

Voy a trabajar con las coordenadas designadas como respectivamente.

Paso a aclarar alguno supuestos previamente para utilizarlo luego en el desarrollo.

  • Decir que el espacio tiempo es esfericamente simétrico equivale a decir que es invariante bajo rotaciones y tomando su imagen espejo en cada una de sus coordenadas. la métrica dará el valor tanto en como en , y el mismo en como en de la misma manera en y
  • Decir que es un espacio tiempo estático equivale a que todos los componentes de la métrica resultante, deben ser independientes de la coordenada tiempo es decir constantes en el tiempo. Matemáticamente lo podemos expresar como entonces concluiremos que la métrica dara el mismo valor en que en
  • La solución a buscar sera de vacìo esto quiere decir que el Tensor de energía momento en el punto donde estamos trabajando.
  • La constante cosmológica la suponemos = 0
  • Entonces el tensor de Ricci
  • Así el tensor de Einstein
  • La signatura de la métrica es (-,+,+,+)


Como primer paso en la deducción intentaremos diagonalizar la métrica basándonos, en lo supuestos anteriores

Como la transformación de coordenadas desde a el tiempo cambia pero se debe conservar al resto de la variables implica que cada componente con debe transformar como


pero como por los supuestos esperamos a la vez que

esto implica que

del mismo modo lo hacemos

a ,
a ,
a ,

Así

[FONT=sans-serif]y por lo tanto la métrica tiene que obedecer a la siguiente forma:[/FONT]


Los [FONT=sans-serif]cuatro componentes de la métrica son independientes de la coordenada de tiempo [/FONT][FONT=sans-serif](por el supuesto de estáticidad).[/FONT]

[FONT=sans-serif]Pero estos mismo 4 componentes pueden ser funciones del radio y seguir siendo simétricos esfericamente[/FONT]

[FONT=sans-serif]de ese modo[/FONT]

[FONT=sans-serif][/FONT]

[FONT=sans-serif]Para cada radio y tiempo [/FONT][FONT=sans-serif] constante [/FONT][FONT=sans-serif]se puede definir una 2-esfera de métrica definida por[/FONT]

[FONT=sans-serif]
[/FONT]
[FONT=sans-serif]
de aqui tenemos
[/FONT]
y

Por lo que el ansatz para la métrica ya puede escribirse como





[FONT=sans-serif]Ahora debemos calcular el valor de A y B para tener determinada la métrica[/FONT]

[FONT=sans-serif]Primero debemos hallar las derivadas de la métrica con respecto a cada componente, y utilizarlas para calcularlos símbolos de Christoffel con [/FONT]



[FONT=sans-serif]Los símbolos [/FONT]
[FONT=sans-serif]de Christoffel[/FONT][FONT=sans-serif] no triviales son


[/FONT]




[FONT=sans-serif]luego hay que calcular los 16 componentes del tensor de Ricci e igualarlos a cero, y también al escalar de Ricci[/FONT]

[FONT=sans-serif]Entonces [/FONT]




tiene por resultado 4 ecuaciones





Las ecuaciones (2) y (4) son múltiplo una de la otra en el factor


si sumamos (1) y (3) obtenemos


recordando que


cuando algo tiene su derivada iguala 0 es porque ese algo es contante así


o sea

reemplazando este resultado en 2 Obtenemos la siguiente ecuación diferencial


cuya solución general es





Con S una constante real a determinar

Así la métrica toma la forma



Donde K y S deben determinarse

para hallar su valor podemos hacer la suposición que esta métrica del espacio tiempo deberá coincidir con la métrica de Minkowski cuando

Comparándolas



Pero así esta en representando las coordenadas pasándola a

nos queda


osea


Vemos que los 2 últimos términos coinciden para todo

y que

cuando entonces


y ya tenemos uno de los valores buscados

sabemos que la expresión de la aceleración provocada por una esfera de masa M sobre un punto ubicado a una distancia R es


por otro lado aplicando los limites newtonianos podemos modificar la expresión (5) para el caso de movimientos radiales a


luego operando

entonces


en el limite newtoniano por lo que derivando ambos miembros de (7)



[FONT=sans-serif]
[/FONT]
[FONT=sans-serif]
igualando (8) con (6) [/FONT]
[FONT=sans-serif]tenemos que

[/FONT]

donde podemos despejar el valor de S


reemplazando en 1 llegamos a la ecuación definitiva de la métrica de Schwarzchild