Deducción de la metrica de Schwarzchild

[Richard R Richard]

Deducción de la Métrica de Schwardchild

La métrica de Schwardchild es el resultado de las ecuaciones de campo de Einstein que describe como es el espacio-tiempo en la cercanía de un objeto esférico con masa estático.

Voy a trabajar con las coordenadas $(t,r,\theta,\phi)$ designadas como $(0,1,2,3)$ respectivamente.

Paso a aclarar alguno supuestos previamente para utilizarlo luego en el desarrollo.

• Decir que el espacio tiempo es esfericamente simétrico equivale a decir que es invariante bajo rotaciones y tomando su imagen espejo en cada una de sus coordenadas. la métrica dará el valor tanto en $r$ como en $-r$, y el mismo en $\theta$ como en $-\theta$ de la misma manera en $\phi$ y $-\phi$
• Decir que es un espacio tiempo estático equivale a que todos los componentes de la métrica resultante, deben ser independientes de la coordenada tiempo es decir constantes en el tiempo. Matemáticamente lo podemos expresar como $\dfrac{\partial g_{uv}}{\partial t}=0$ entonces concluiremos que la métrica dara el mismo valor en $t$ que en $-t$
• La solución a buscar sera de vacìo esto quiere decir que el Tensor de energía momento $T_{uv} =0$ en el punto donde estamos trabajando.
• La constante cosmológica la suponemos = 0
• Entonces el tensor de Ricci $R_{uv} =0$
• Así el tensor de Einstein $G_{uv} =0 =R_{uv} -\dfrac R2 g_{uv}$
• La signatura de la métrica es (-,+,+,+)

Como primer paso en la deducción intentaremos diagonalizar la métrica basándonos, en lo supuestos anteriores

Como la transformación de coordenadas desde $(t,r,\theta,\phi)$ a $(-t,r,\theta,\phi)$ el tiempo cambia pero se debe conservar al resto de la variables implica que cada componente $g_{u0}$ con $u \neq0$debe transformar como

$g'_{u0}=g_{\mu\nu}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{u}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{0}}=-g_{u0} \text{ }u\neq 0$

pero como por los supuestos esperamos a la vez que

$g'_{u0}=g_{u0} \text{ }u\neq 0$

esto implica que

$g_{u0}=0 \text{ }u\neq 0$

del mismo modo lo hacemos

$(t,r,\theta,\phi)$ a $(t,-r,\theta,\phi)$,
$(t,r,\theta,\phi)$ a $(t,r,-\theta,\phi)$,
$(t,r,\theta,\phi)$ a $(t,r,\theta,-\phi)$,

Así

$g_{uv}=0 \text{ }u\neq v$

y por lo tanto la métrica tiene que obedecer a la siguiente forma:

$\dd s^2=g_{00}\dd t^2+g_{11}\dd r^2+g_{22}\dd {\theta}^2+g_{33}\dd {\phi}^2$

Los cuatro componentes de la métrica son independientes de la coordenada de tiempo $t$por el supuesto de estáticidad).Pero estos mismo 4 componentes pueden ser funciones del radio y seguir siendo simétricos esfericamente

de ese modo

$g_{11}=A(r)$
$g_{00}=B(r)$

Para cada radio y tiempo constante se puede definir una 2-esfera de métrica definida por

$\dd l^2=r_0(\dd {\theta}^2+sin^2\theta \dd {\phi}^2)= g_{22}(\dd {\theta}^2+\dfrac{g_{33}}{g_{22}}\dd {\phi}^2)$

de aqui tenemos

$g_{22}=r^2$

y

$g_{22}=r^2sin^2\theta$

Por lo que el ansatz para la métrica ya puede escribirse como

$\dd s^2=B \dd t^2+A \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2$

Ahora debemos calcular el valor de A y B para tener determinada la métrica

Primero debemos hallar las derivadas de la métrica con respecto a cada componente, y utilizarlas para calcularlos símbolos de Christoffel con

$\Gamma_{ij}^m=\dfrac12 g^{km}\left (\partial_i g_{jk}+\partial_j g_{ik} -\partial_k g_{ij} \right )$

Los símbolos de Christoffel no triviales son

$\Gamma^0_{03}=\dfrac {B'}{2B}$	$\Gamma^0_{30}=\dfrac {B'}{2B}$	$\Gamma^1_{00}=-\dfrac {B'}{2A}$	$\Gamma^1_{11}=\dfrac {A'}{2A}$
$\Gamma^1_{22}=-\dfrac {r}{A}$	$\Gamma^1_{33}=-\dfrac {r \sin^2 \theta}{A}$	$\Gamma^2_{12}=\dfrac {1}{r}$	$\Gamma^2_{21}=\dfrac {1}{r}$
$\Gamma^2_{33}=-\sin \theta \cos \theta$	$\Gamma^3_{13}=\dfrac {1}{r}$	$\Gamma^3_{31}=\dfrac {1}{r}$	$\Gamma^3_{23}=\cot \theta$
$\Gamma^3_{32}=\cot \theta$

Luego hay que calcular los 16 componentes del tensor de Ricci e igualarlos a cero, y también al escalar de Ricci

Entonces

$\dst{\Gamma^i_{jk,i}-\Gamma^i_{ik,j}+\Gamma^i_{il}\Gamma^l_{jk}-\Gamma^i_{jl}\Gamma^l_{ik}=0}$

tiene por resultado 4 ecuaciones

$$4A'B^2-2rB"AB+rA'B'B+rB'^2A=0$$

$$rA'B+2A^2B-2AB-rB'A=0$$

$$-2rB"AB+rA'B'B+rB'^2A-4B'AB=0$$

$$rA'B \sin^2\theta+2A^2B\sin^2\theta-2AB\sin^2\theta-rB'A\sin^2\theta=0$$

Las ecuaciones (2) y (4) son múltiplo una de la otra en el factor $\sin^2\theta$


si sumamos (1) y (3) obtenemos

$A'B+B'A=0$

recordando que

$\dfrac {\mathrm{d} (A \cdot B)}{\mathrm{d} r }=$$A\dfrac {\mathrm{d} B}{\mathrm{d} r}+B\dfrac {\mathrm{d} A}{\mathrm{d} r}$

cuando algo tiene su derivada iguala 0 es porque ese algo es contante así

$(A \cdot B)= K$

o sea

$B= \dfrac 1A$

reemplazando este resultado en 2 Obtenemos la siguiente ecuación diferencial

$rA'-A+A^2=0$

cuya solución general es

$A=\dfrac 1{1+\dfrac 1{Sr}}$


$B=K(1+\dfrac 1{Sr})$

Con S una constante real a determinar

Así la métrica toma la forma

$$\dd s^2=K(1+\dfrac 1{Sr}) \dd t^2+\dfrac 1{1+\dfrac 1{Sr}} \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2$$

Donde K y S deben determinarse

para hallar su valor podemos hacer la suposición que esta métrica del espacio tiempo deberá coincidir con la métrica de Minkowski cuando $r \to \infty$

Comparándolas

$\eta_{uv}=\left ( \begin{array}{cccc} -c^2 & 0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{array} \right )$

Pero así esta en representando las coordenadas $(t,x,y,z)$ pasándola a $(t,r,\theta,\phi)$

nos queda

$\eta'_{uv}=\left ( \begin{array}{cccc} -c^2 & 0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&r^2&0\\0&0&0&r^2\sin^2\theta \end{array} \right )$

osea

$\dd s^2=-c^2 \dd t^2+1 \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2$

Vemos que los 2 últimos términos coinciden para todo $r$

y que

$-c^2=K(1+\dfrac 1{Sr})$

cuando $r \to \infty$ entonces

$K=-c^2$

y ya tenemos uno de los valores buscados

sabemos que la expresión de la aceleración provocada por una esfera de masa M sobre un punto ubicado a una distancia R es

$$\dfrac{\dd^2 r}{\dd t^2}=-\dfrac{MG}{r^2}$$

por otro lado aplicando los limites newtonianos podemos modificar la expresión (5) para el caso de movimientos radiales a

$\dd s^2=-c^2(1+\dfrac 1{Sr})\dd t^2$

luego operando

$\dfrac{\dd s^2}{\dd t^2}=-c^2(1+\dfrac 1{Sr})$

entonces

$$\dfrac{\dd s}{\dd t}=\sqrt{-c^2(1+\dfrac 1{Sr})}$$

en el limite newtoniano $\dfrac{\dd s}{\dd t}=\dfrac{\dd r}{\dd t}$ por lo que derivando ambos miembros de (7)

$\dfrac{\dd^2 r}{\dd t^2}=\dfrac{(\dfrac{-c^2}S)\cdot(\dfrac{-1}{r^2})\cdot \dfrac{\dd r}{\dd t}}{2\sqrt{-c^2(1+\dfrac 1{Sr})}}$

$\dfrac{\dd^2 r}{\dd t^2}=\dfrac{\dfrac{c^2}{Sr^2}\cdot\sqrt{-c^2(1+\dfrac 1{Sr})} }{2\sqrt{-c^2(1+\dfrac 1{Sr})}}$

$$\dfrac{\dd^2 r}{\dd t^2}=\dfrac{c^2}{2Sr^2}$$

igualando (8) con (6) tenemos que

$-\dfrac{MG}{r^2}=\dfrac{c^2}{2Sr^2}$

donde podemos despejar el valor de S

$S=\dfrac {-c^2}{2GM}$

reemplazando en 1 llegamos a la ecuación definitiva de la métrica de Schwarzchild

$$\dd s^2=-c^2(1-\dfrac {2GM}{c^2r}) \dd t^2+\dfrac 1{1-\dfrac {2GM}{c^2r}} \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2$$