Puntos de Lagrange L4 y L5


Estos puntos no están ubicados sobre la recta que une con por lo que el equilibrio de fuerzas será un poco mas complejo.

Destacaré algunas relaciones que serán útiles sobre la marcha

establecer una relación entre la posición del centro de masas y la relación de masas




Ley del seno : la relación entre los lados de un triangulo y sus ángulos opuestos es


además sabemos que


las ecuaciones que relacionan las velocidades angulares serán


usando los 5to término y 7mo término de 26 ,y reemplazando por 23


En el equilibrio de fuerzas entre y tenemos que la fuerza de atracción gravitatoria entre ambas debe igualarse con la centrípeta de proveniente de la rotación



Reemplazando por su definición



simplificando


Sobre el objeto podemos descomponer las fuerzas de atracción de las masas y en dirección a y su perpendicular.

En dirección a R tenemos



donde







reemplazando



en el eje perpendicular a R no hay componente de velocidad para que permanezca estático.




Las 4 ecuaciones




se pueden tratar algebraicamente para develar nuestras incógnitas

despejando igualando en 27 y 28 podemos despejar

de 27 tenemos



y de 28



entonces


reemplazando en 29


dividiendo por ambos lados de la igualdad


si en la expresión 30 remplazamos el valor de y despejamos


de las igualdades 24 sabemos
y



reemplazando en 33



simplificando y reemplazando por las definiciones 22 y 23



simplificando nuevamente


de la primer linea de 24 tenemos


remplazando y operando entre 34 y 35


por lo que la expresión 33 se simplifica a


a la vez en la igualdad 32 podemos reemplazar las expresiones 36 y 37



operando


multiplicando por ambos miembros y recordando la propiedad del seno de la suma de los ángulos de 25


dela ultima linea de 24


reemplazando en 38



dividiendo por b ambos miembros y simplificando



de 24 y 36 nos queda



operando con las ultimas dos igualdades


resultando que



La posición de los tres objetos estará en los vértices de una triangulo equilátero, a la vez pueden darse dos situaciones geométricas simétricas para ubicar con respecto a una única posición de y se denomina L4 a la que antecede en el sentido de giro a y L5 a la posición posterior.