Al no ser matemático de carrera, desconozco el rigor necesario para una demostración, pero para eso presento esta entrada, esperando que se me indique donde mi razonamiento falla, y si no es posible, entonces si habré demostrado que es no posible que existan números perfectos impares.

Para los que no sepan que es un número perfecto daré la definición:

Una primera aproximación sería un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

Pero qué es un divisor propio positivo, bueno es otro número también entero que es divisor de otro natural N, pero que es diferente de N.

Los divisores de N como el 1 y N se los llaman impropios.

Pero una mejor definición de Número perfecto es un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos...más el impropio 1

Un ejemplo sencillo de número perfecto es el 6 ya que es el producto de y esos tres números el 1,2 y3 son los divisores propios e impropios que no son el mismo 6.
Luego al sumar todos ellos también tenemos como resultado al número perfecto.

Existen otros números perfectos como el 28 que es pero de los 51 que se encontraron la actualidad todos ellos son pares.

Los desafíos matemáticos abiertos sobre esta temática son:
  • Demostrar que los números perfectos son infinitos en cantidad.
  • Que se encuentre uno que sea impar o bien se demuestre que no existe ninguno.
Este último desafío me cautivó, y empecé a dedicarle un poco de tiempo, con lápiz y papel.

Veamos si he podido sacarle el jugo...

Un número perfecto es el que cumple que



los son números primos resultante de la descomposición en factores primos de N
y los son los exponentes a los cuales esta elevado el número primo

Donde el segundo término de la igualdad entonces es la representacion del numero perfecto como la productoria de todos los factores primos en que se puede descomponer el Número perfecto, cada uno elevado a su respectivo exponente. El tercero consta de la agrupación en dos sumandos, de todos los factores propios y no propios posibles de obtener como permutación de los factores primos elevados como máximo a la respectiva potencia dentro de la productoria y el otro sumando de valor negativo es la multiplicación de todos lo factores primos a la máxima potencia. Si se desarrolla la primer serie de sumandos se ve que para eliminar de la lista el propio valor N hace falta restarlo y es lo que se hace con el último sumando

Otra forma más sencilla de desarrollar la expresión es



Es sencillo darse cuenta que si cualquier se le asigna el número primo 2 entonces el número perfecto buscado será par, luego el primo 2 y al 1 por razones obvias ,no los vamos a considerar en como posibles valores de de la productoria.

También podemos prestar atención que la cantidad de sumandos del tercer término de la última ecuación, deberá ser par para que haya una solución posible, esto es que

sea par .... luego es necesario que alguno de los sea impar para que haya solución,(esto reduce las combinaciones posibles de búsqueda por fuerza bruta), pero no nos será de mucha utilidad si queremos avanzar en una demostración general.

Un resultado previo

Analicemos si el sumario de un primo elevado a todos los exponentes entre 0 y n es menor mayor o igual que ese primo elevado a un exponente una unidad mayora n.. en fórmulas



La finalidad es analizar siempre que
Es fácil observar que si P=1 el resultado es que el símbolo a usar en la ecuación es el < para todo n>0.
También que si P=2 el resultado es que el símbolo a usar es el < para todo n=1 y el > para n>1.
Recordemos que estos primos no lo vamos a usar en el análisis posterior sol primos mayores o iguales a 3 pero bien vale tener en cuenta sus resultados.

Entoces para para todo siempre sucede que




luego al multiplicar en bos lados por un primo arbitrario sigue cumpliendose



también sera cierto que



que tambien hara cierto que si los primos no pueden ser ni el 1 ni el 2 o bien mayores o iguales a 3...



esto se puede generalizar para la multiplicación de cualquier otro primo




Otro resultado útil es que si



entonces



es posible hacer el cambio de variable en los sumatorios cambiando la variable n por una una unidad inferior si quedaría


y luego reemplazar t por cualquier otro símbolo

ahora es mas fácil ver que

​​​​​​​

luego que



quedando



y sabiendo que



He llegado a que siempre la productoria de números primos mayores a 2 elevados a cualquier exponente es mayor que la sumatoria de todos sus factores propios mas el 1 que surge naturalmente de la productoria de primos elevado a exponente cero.

Conclusión no puede existir un número perfecto impar.... ya que no hay forma de lograr la igualdad de términos si los primos son mayores o iguales a 3 y los exponentes mayores o iguales a 1.


Esta demostración , si se puede llamar así, me ha resultado fácil, me temo que seguramente el ojo entrenado de un matemático verá dónde me se halla algún error importante, que la rigurosidad necesaria no se cumpla, que desvirtúe la lógica y lo haga falaz.

Cualquiera que lo halle le agradeceré y lo postearé , entonces esta entrada de blog solo será una manera más por la cual no se llega a ese buen puerto. y prontamente pasará al olvido

Y si no es así bienvenido sea. Y gracias por leerme.