Mecánica de Fluidos II. Interludio matemático.

[sater]

Antes de seguir con la dinámica de fluidos propiamente dicha, veamos un preliminar matemático aplicable en múltiples casos. Lo demostraremos de varias formas, apoyándonos en el resultado de la primera entrada de mecánica de fluidos.

Sea $F(t)$ cierta magnitud y $f(\vec x,t)$ la densidad de ésta, es decir, estas dos magnitudes están relacionadas mediante:

$$F(t)=\int_{W_t}f(\vec x,t)d^3 x$$

Nos proponemos averiguar la derivada temporal de $F(t)$.

Para ello, lo haremos de dos formas.

Forma rápida:

Este es un truquete muy digno que aprovecha la definición de integral como un sumatorio. De forma no muy precisa pero intuitiva podemos escribir:

$$F(t)=\sum_i f(\vec x_i,t)\Delta V_i$$

Derivando mediante la regla del producto:

$$\dfrac{dF(t)}{dt}=\sum_i \left[\dfrac{df(\vec x_i,t)}{dt}\Delta V_i+f(\vec x_i,t)\dfrac{d\Delta V_i}{dt}\right]$$

En la entrada anterior vimos que:

$$\dfrac{dV(t)}{dt}=\int_{W_t} \vec\nabla \vec v\: d^3 x$$

Si discretizamos lo anterior,

$$\dfrac{d \Delta V_i}{dt}=\vec\nabla\vec v \:\Delta V_i$$

(nótese que al discretizar $d^3 x \leftrightarrow \Delta V_i$

Por tanto sustituyendo (3) y recuperando la forma integral:

$$\dfrac{dF(t)}{dt}=\int_{W_t} \left[\dfrac{df(\vec x,t)}{dt}+f(\vec x,t)\:\vec\nabla\vec v\right]d^3 x$$

Fijaos ahora que en el integrando tenemos una derivada total de $f(\vec x,t)$. Por lo que vimos en la primera entrada (recordemos que partimos de la región a tiempo inicial $t_0$ formada por los puntos $\vec x_0$, en tanto que los puntos de la región evolucionada $\vec x$ provienen de la pasar los puntos iniciales por la aplicación de flujo del fluido, es decir poseen evolución temporal y dependen del tiempo):

$$\dfrac{df(\vec x,t)}{dt}=\dfrac{\partial f}{\partial t}+ \vec v \cdot \vec \nabla f$$

(ahora es buen momento para comentar que, aunque lo anterior es simplemente la derivada total de la función $f$ aplicando la regla de la cadena, a veces en la literatura se define directamente como la derivada material, es decir la derivada de una función cuando sus argumentos evolucionan -se sigue la región en su evolución-, aunque como ya he dicho no deja de ser la aplicación de la regla de la cadena)

Por lo anterior, al introducirlo en (6) y agrupando:

$$\dfrac{dF(t)}{dt}=\int_{W_t} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial t} + \vec\nabla (f \vec v)\right] d^3 x$$

Como comentario, fijaos que si el volumen fuera fijo ( por ejemplo fueran los puntos $\vec x_0 \in W_{t_0}$ ), la velocidad de sus puntos es nula y no habríamos derivado el elemento de volumen en el sumatorio, luego en (6) tendríamos solo la derivada temporal de $f$, que sería solo parcial pues sus puntos no evolucionan, es decir, tendríamos el primer término de (8). Esto es lo que ocurrió en la primera entrada, donde el Jacobiano hacía de función densidad, y al derivar el volumen entraba al integrando como una derivada parcial del Jacobiano.

Más formal:

Para ello, debemos plantearnos como cambia cada función al evaluar su argumento en $t+dt$.

Buscamos $F(t+dt)-F(t)$. Sabemos que al evolucionar se tiene $\vec x\rightarrow \vec x^{\prime}=\vec x+\vec v(\vec x,t) dt$.

$$F(t+dt)-F(t)=\int_{W_{t+dt}} f(\vec x^{\prime},t)d^3 x^{\prime} - \int_{W_t} f(\vec x,t)d^3 x$$

De la anterior entrada también, sabemos que el cambio de variables hará que $d^3 x^{\prime}$ pase a $J(\vec x,t) d^3 x=(1+\vec \nabla \vec v)d^3 x$. Veamos ahora como es $f$ evaluada en el nuevo punto $\vec x^{\prime}$ y en el nuevo tiempo $t+dt$.

$$f(\vec x+\vec v dt, t+dt)=f(\vec x,t)+\dfrac{df}{d\vec x}\:\vec v dt+\dfrac{\partial f}{\partial t} dt$$

(en lo anterior simplemente se ha expandido $f$ a primer orden, fijaos que $\vec v dt$ hace el papel de $d\vec x$ y la derivada respecto al vector $\vec x$ no es más que el gradiente de $f$). Así pues:

$$F(t+dt)-F(t)=\int_{W_t} \left[ f(\vec x^{\prime},t+dt) (1+\vec \nabla \vec v) -f(\vec x,t)\right]$$

Agrupando:

$$\ldots=\int_{W_t}\left[f(\vec x^{\prime},t+dt)-f(\vec x,t)+f(\vec x^{\prime},t+dt) \:\vec\nabla\vec v dt\right]$$

Ahora usamos (10), por lo que resulta:

$$\ldots= \int_{W_t} \left[\vec v\cdot\vec \nabla f +\dfrac{\partial f}{\partial t}+\left(f+\vec v\cdot\vec\nabla f dt\right) \vec\nabla\vec v dt\right]d^3 x$$

Si despreciamos diferenciales del tiempo de segundo orden, y agrupamos:

$$F(t+dt)-F(t)=\int_{W_t} \left[\dfrac{\partial f}{\partial t}+\vec\nabla(f\vec v)\right] dt d^3 x$$

que, pasando el diferencial de tiempo al miembro izquierdo nos da:

$$\dfrac{dF(t)}{dt}=\int_{W_t}\left[\dfrac{\partial f}{\partial t}+\vec\nabla(f\vec v)\right] d^3 x$$

Por lo que hemos demostrado el resultado por ambas vías.

Este resultado es extrapolable a vectores, pues se aplicaría a cada una de sus componentes y al final al reagrupar tenemos de nuevo el vector.

Ahora ya sí que sí, en las siguientes entradas me centraré en la dinámica de fluidos. Estas dos primeras han valido para cimentar lo que viene, y para ver unas cuantas herramientas útiles y truquetes, así como "ver por donde van los tiros" cuando se trabaja con un medio continuo, sobre todo a la hora de no hacerse un lío con los argumentos y tener claro la dependencia de cada magnitud.
En la siguiente entrada veremos ya la ecuación de continuidad y la ecuación de Euler.