vector de posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares

[oscarmuinhos]

(En uno de los hilos del foro sobre órbitas elípticas se me ha planteado una duda sobre las coordenadas polares, obligándome a tener que recordar (y ampliar) mucho de lo que, en su día (en segundo y tercero de Químicas) había aprendido sobre el tema. En esta entrada quiero compartir con todas y todos este mi aprendizaje sobre ello (también para que se me pueda corregir, si algo estuviera mal desarrollado o mal interpretado...
Al acabar la edición de esta entrada, he encontrado en esta página web unos apuntes sobre gravitación newtoniana con un apartado sobre coordenadas polares con un desarrollo prácticamente idéntico:https://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/gravi/. Poco o nada aporta pues esta entrada de Blog, más que un lenguaje, a veces, un poco distinto. A pesar de esta coincidencia, he decidido mantener esta entrada, en primer lugar, a modo de compensación por el trabajo invertido -en parte ya amortizado, por haberme servido para introducirme en la práctica del LATEX- y, en segundo lugar, porque me parece que puede ser interesante mantener una entrada específica a este tema de las coordenadas polares)

Importancia de las coordenadas polares:

Soy de la opinión que solo se puede percibir la importancia de algo cuando nos vemos obligados a trabajar con ello y de esta forma, sobre la práctica, ir aprendiendo de sus ventajas e inconvenientes. Sin embargo, aunque solo sea para motivar a seguir leyendo, empezaré diciendo que las coordenadas polares, en su aspecto escalar nos facilitan enormemente algunas de las operaciones con números complejos, y, en su aspecto vectorial, son unas coordenadas especialmente idóneas para el manejo de las ecuaciones con las cónicas que resultan al estudiar la trayectoria de satélites y planetas en torno a los respectivos centros de atracción. Además, la extensión de estas coordenadas al espacio tridimensional con la adición de la coordenada z, dan lugar al sistema de coordenadas cilíndricas.

Definición:

De la misma forma que para definir un punto del plano en coordenadas cartesianas se empieza por colocar en un punto O (llamado origen) un sistema de ejes rectangulares de forma que, a continuación, un punto P viene definido por la distancia de dicho punto a los ejes de coordenadas, también la definición de coordenadas polares empieza por elegir un punto O, también llamado origen, y una dirección o recta del plano que pase por dicho punto. A continuación, la posición de un punto P en este sistema de coordenadas llamadas polares vendrá dada por los siguientes parámetros:

-distancia desde el punto al origen, a la que representamos por $r$
-ángulo $\theta$ que forma el radio vector de dicho punto P (segmento que va desde el origen al punto P) con la dirección dada y medido el ángulo en sentido contrario al movimiento horario de las agujas de un reloj. De esta forma, queda definida una relación biunívoca o biyectiva entre los puntos del plano y los parámetros $r$ y $\theta$

Su representación geométrica (y, si se quiere, su definición geométrica) se puede ver en la siguiente figura:

Relación entre cartesianas y polares:

Traslación de polares a cartesianas:

A partir de la figura anterior es fácil ver que:

$x = r.cos \theta$

$y = r.sen \theta$

(Estas expresiones puede servir también como definición de las coordenadas polares, sin siquiera referencia alguna a la geometría)

Traslación de cartesianas a polares:

Geométricamente, desde la figura anterior, dadas las coordenadas (x, y) de un punto P

$x^2 + y^2 = r^2$
$tg \theta = \dfrac y x$

(puede llegarse a las dos relaciones anteriores sin valerse de referencia alguna a la geometría, sin más que cálculo analítico. Pero siempre es preferible conservar la imagen geométrica de estas coordenadas)

Vector de posición en coordenadas polares:

Para la Física los vectores son entes geometrico-matemáticos para los que es necesario indicar, además de su valor, también su dirección y sentido (y punto de aplicación, en operaciones que impliquen rotaciones). Por ello, para poder definir vectores en coordenadas polares, habrá de empezarse por definir los vectores unitarios asociados a estas coordenadas (Fig. 2):

$\vec u_r$: vector unitario en la dirección y sentido del vector $\overrightarrow{OP}$;

$\vec u_{\theta}$: vector unitario perpendicular al vector $\vec u_r$, sentido antihorario

Con estos vectores unitarios, el vector de posición de un punto P será simplemente: $\overrightarrow{OP}=r\vec u_r$ donde $r = |\overrightarrow{OP}|$

Traslación del vector de posición de polares a cartesianas:

De polares a cartesianas, el paso puede decirse que es directo:

$\overrightarrow{OP}=r\vec u_r=r.cos{\theta}\vec i+r.sen{\theta}\vec j=r(cos\theta\vec i+sen\theta\vec j)$, donde $\vec i$ y $\vec j$ son los vectores unitarios en cartesianas (7)

Traslación del vector de posición de cartesianas a polares:

En coordenadas cartesianas el vector de posición de un punto P vendrá dado por:

$\overrightarrow{OP}=x\vec i +y\vec j$

Para expresar este vector en polares, solo habrá que calcular su módulo y multiplicar por el vector $\vec u_r$ correspondiente al punto dado P:

$\overrightarrow{OP}=|\overrightarrow{OP}|.\vec u_r=\sqrt{x^2+y^2}.\vec u_r=r\vec u_r$

(Puede hacerse también, a través de un método más general, válido para cualquier vector, trasladando a polares las componentes $x$ e $y$ y los vectores unitarios $\vec i$ y $\vec j$)

Vector velocidad en coordenadas polares

Por definición:

$\vec v=\dfrac{d(r\vec u_r)}{dt}=\dot{r}\vec u_r+r\dfrac{d\vec u_r}{dt}$ (8)

Se necesita, pues, conocer la derivada de los vectores unitarios (en este caso la derivada de $\vec u_r$). De los muchos métodos que se pueden utilizar para conocer estas derivadas, vamos a empezar por la representación de los vectores $\vec u_r$ y $vec u_{\theta}$ en coordenadas cartesianas para, a continuación, hacer las derivadas en cartesianas. A partir de la Fig.2 es fácil ver que

$\vec u_r = cos \theta \vec i +sen\theta\vec j$
$\vec u_{\theta} = -sen \theta \vec i+cos\theta\vec j$

Derivando respecto al tiempo:

$\dfrac{d\vec u_r}{dt}=-\dot \theta sen\theta\vec i+\dot \theta cos\theta j= \dot \theta(-sen\theta\vec i+cos\theta\vec j)=\dot \theta\vec u_\theta$

$\dfrac{d\vec u_\theta}{dt}=-\dot \theta cos\theta\vec i-\dot \theta sen\theta j= \dot \theta(-cos\theta\vec i-sen\theta\vec j)=-\dot \theta\vec u_r$

y llevando este resultado a la ecuación (8):

$\vec v=\dfrac{d(r\vec u_r)}{dt}=\dot{r}\vec u_r+r\dot \theta\vec u_\theta$

vector aceleración en coordenadas polares

Por definición:

$\vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\dot{r}\vec u_r+r\dot \theta\vec u_\theta)=\ddot r\vec u_r+\dot r\dfrac{d\vec u_r}{dt}+\dfrac{d(r\dot \theta)}{dt}\vec u_\theta+r\dot \theta\dfrac{d\vec u_\theta}{dt}$

Derivando y substituyendo las derivadas de los vectores unitarios:

$\vec a=\ddot r\vec u_r+\dot r\dot \theta\vec u_\theta+(\dot r\dot \theta+r\ddot \theta)\vec u_\theta+r\dot \theta(-\dot \theta\vec u_r)=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec u_r+(r\ddot \theta+2\dot r\dot \theta)\vec u_\theta$

Resumen:

vector de posición en polares:

$\overrightarrow{OP}=\vec r= r\vec u_r$

vector velocidad en polares:

$\vec v=\dot{r}\vec u_r+r\dot \theta\vec u_\theta$

vector aceleración en polares:

$\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec u_r+(r\ddot \theta+2\dot r\dot \theta)\vec u_\theta$

"Quien corrige, enseña; quien se corrige, aprende"

Galicia, 28/08/2019