¿Y cómo integro?

[BACANALATOR]

1. La Integral Indefinida

En esta sección se resuelve el problema encontrar una función $f{(x)}$, conocida su derivada $f'{(x)}$, pero para ello anotemos algunas cosas primero.

Definición 1.1: Una función $F_{(x)}$ se llama primitiva de una función $f_{(x)}$, en un determinado intervalo, si es que $F{(x)}$, es diferenciable en ese intervalo y $F'{(x)}=f{(x)}$.

Ejemplo 1.1. $F{(x)}=x^2$, es una primitiva de la función $f{(x)}=2x$, ya que $(x^2)'=2x$

Teorema 1.1 Si tenemos que $F{(x)}$ es una primitiva de la función $f{(x)}$, $F{(x)}+K$ también lo será, donde $K$ es una constante arbitraria.

Teorema 1.2 Si $F_1(x)$ y $F_2(x)$son dos primitivas de la función $f{(x)}$ en un mismo intervalo, entonces solamente se diferencian en una constante, es decir $F_1(x)-F_2(x)=K$

Ejemplo 2.2 como ejemplo se demostrará el teorema 1.2, para ello elijamos una función tal que $G{(x)}=F_1(x)-F_2(x)$, tomando en cuenta la definición que se dio de primitiva de una función es fácil notar que $G'{(x)}=F'_1(x)-F'_2(x)=f(x)-f(x)=0$, para cualquier valor de $x$ de ese intervalo, y en virtud del teorema 1.1 se tiene que $G{(x)}=K$, con lo cual termina la demostración.

Así de estos dos teoremas se puede llegar a la conclusión que si $G{(x)}$ es otra primitiva de $f{(x)}$, en un mismo intervalo, entonces tendrá la forma:

$$G{(x)}=F{(x)}+K$$

Donde $K$, viene a ser una constante.

Conocidos ya estos conceptos previos se pasará de difinir a la integral indefinida.

Definición 1.2. Se llama integral definida a una primitiva arbitraria en un determinado intervalo, y se denota por:

$$\int f{(x)}\dd x$$

Donde el signo $\dst \int,$ es conocido como integral y $f{(x)}\dd x$ es un elemento de integración, donde considerando lo mencionado anteriormente:

$$\int f{(x)}\dd x=F{(x)}+K$$

Donde $K$, es una constante que se elige adecuadamente dependiendo de las condiciones del problema.

Teorema 1.3 Se puede llegar a demostrar que si $f{(x)}$ es continua en un intervalo determinado, entonces existe para ella una primitiva, y por tanto una integral indefinida.

Además hay que tomar en cuenta algunas propiedades que se deducen rápidamente como:

1. $\dst\dd\int f{(x)}\dd x=f{(x)}\dd x$
2. $\dst\int\dd F{(x)}=F{(x)}+K$
3. Dadas dos funciones $f_1(x)$ y $f_2(x)$ y una constante $a$, se cumple que en un mismo intervalo $\dst \int(af_1(x)\pm f_2(x))\dd x=a\int f_1(x)\dd x \pm\int f_2(x) \dd x+K$

Integrales Inmediatas

En base a lo anterior, anotaré en la siguiente tabla algunas integrales que se pueden deducir con facilidad:

Función ($\mathbf{f(x)}$)	Primitiva ($\mathbf{F{(x)}}$)
	$K$
$x^n$	$\dst\frac{x^{n+1}}{n+1}+K,n\neq -1$
$\dst\frac{1}{x}$	$\ln(x)+K$
$a^x$	$\dst\frac{a^x}{\ln a}+K (a> 0)$
$\sin x$	$-\cos x+K$
$\cos x$	$\sin x+K$
$\sec^2x$	$\tan x+K$
$\csc^2x$	$-\cot x+K$
$\sinh x$	$\cosh x+K$
$\cosh x$	$\sinh x+K$
$\dst\frac{1}{\cosh^2x}$	$\tanh x+K$
$\dst\frac{1}{\sinh^2x}$	$-\coth x+K$
$\dst{ 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$	$\text{asen}\,x+K$
$\dst{-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$	$\text{acos} x+K$
$\dst{ 1 \over 1 + x^2}$	$\text{atan} x+K$
$\dst{ 1 \over x\sqrt{x^2 - 1}}$	$\text{asec} x+K$
$\dst{1 \over x\sqrt{x^2 - 1}}$	$-\text{acsc} x+K$
$\dst{1 \over 1 + x^2}$	$-\text{acot} x+K$

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Re: Artículo: ¿Y cómo integro?

Gracias, buen aporte!

[Al2000]

[Beto], un error de edición menor... donde pones "Definición 1.2. Se llama integral definida a una primitiva..." supongo debería decir integral indefinida.

Saludos,

Al