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Tras la puerta de Tannhäuser

Jugando con círculos

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Antes de empezar, aclarar que lo que voy a discutir en este artículo es lo que la mayoría de la gente llama circunferencia. De hecho, normalmente se dice que el circulo es lo que hay dentro de la circunferencia. No obstante, según la Real Académia de la Lengua, la segunda acepción de círculo es precisamente circunferencia; así que me voy a dar el lujo de usar esta palabra menos estándar a lo largo de esta entrada, por qué es más corto y... por qué yo lo valgo.

El circulo es uno de los elementos geométricos más emblemáticos, sin duda. En principio, es bastante simple: un segmento en un plano, cerrado sobre si mismo, de forma simétrica. Uno puede mirarlo desde cualquier ángulo y no cambia. De hecho, todos los círculos son iguales, la única diferencia es su tamaño. Una forma de caracterizar el tamaño es dar la distancia entre el centro y el propio circulo. No descubro nada al decir que esta distancia se llama radio, y de hecho sirve para definir matemáticamente el propio círculo, a saber

x^2 + y^2 = r^2 \ .

En esta ecuación, x e y son las coordenadas cartesianas (ortogonales) en un plano, y r es el radio del círculo. Todas estas cantidades se miden en unidades de distáncia. Como sabemos, existen muchas unidades de distáncia posibles; de hecho infinitas. Podemos inventar nuevas unidades con simplemente decir que distancia vale uno (por eso se llaman unidades). De las tres cantidades que aparecen en (1), sólo podemos fijar el valor del radio, ya que las coordenadas son variables. Esto nos sirve para definir un sistema de unidades muy adecuado para estudiar el circulo, el sistema de unidades donde r=1. Esto no nos hace perder generalidad, ni mucho menos; podemos reestablecer en cualquier momento la dependencia con el radio por simple análisis dimensional. En adelante, pondré o no explícitamente el radio en las fórmulas según me sea más conveniente... por que lo sigo valiendo.


Un paseo circular: trigonometría

Una vez tenemos un círculo, lo mejor que podemos hacer con él es darnos un garbeo. Pasear por un cículo es divertido, aunque algo repetitivo. El problema viene cuando alguien te llama por telefono para quedar, y necesitas decirle como encontrarte. El circulo parece lo mismo desde cualquier punto de vista... ¿cómo describir tu posición? Uhm... se me ocurren varias formas.

Podríamos empezar fijando un punto de referencia, y decir que distáncia has caminado desde la última vez que pasaste por allí. Bien, es una manera útil. Claro está, si recorres una distáncia 2\pi r, has vuelto al punto de partida. Por algún motivo, se suele llamar a esta medida de la distancia siguiendo el perímetro de un círculo arco de circunferencia, y se denomina por la letra s (s de... arco, supongo).

El único defecto de esta forma de posicionarte es que depende del radio del circulo. En efecto, dar una vuelta en un circulo grandote quema más calorías que si te quedas con uno más modesto. Pero no hay problema, podemos construir una nueva forma de posicionarte dividiendo el arco de circunferencia por el radio del circulo. Esta nueva coordenada se llama ángulo. Como es el cociente entre dos magnitudes que se miden en unidades de distancia, el ángulo es una magnitud adimensional. Aún así, podemos definir una unidad (es decir, fijar un ángulo que vale 1). Según la definición dada, el ángulo unidad más obvio se el subtendido por un arco de circunferencia igual al radio. Es decir, el ángulo definido de esta forma pasa a ser, simplemente, \theta = s / r. A esta unidad angular se la llama radián. Está claro que si elegimos unidades en que r=1, ambas coordenadas son equivalente.

Esto nos es muy útil si la persona con la que hemos quedado sabe desplazarse sobre el círculo. Pero, imaginemos que nuestra incipiente compañía es algo más limitada, y tan sólo sabe desplazarse en paralelo a los ejes coordenados. Debemos ser capaces de decirle "camina una distancia x hacia la derecha, y luego una distancia y hacia arriba". Bueno, para eso se inventó la trigonometría. Si estamos en el ángulo \theta, en un círculo con r=1: a la distancia x la llamamos coseno, mientras que la distancia y recibe el nombre de seno.


Para restaurar las unidades, en un círculo con cualquier radio, basta con multiplicar el seno y el coseno por el nuevo valor,

\begin{aligned} 
x & = r \cos\theta\ , \\ 
y & = r \sin\theta\ . 
\end{aligned}

Esta forma de concretar citas sobre un círculo, a la chica callando, da lugar a toda la trigonometría. Aunque eso es otra historia, que deberá ser contada en otra ocasión. Vamos a repasar únicamente una de las propiedades más interesantes (tanto que recibe el nombre de propiedad fundamental de la trigonometría) se obtiene combinando las ecuaciones (1) y (2),

\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \ .


Algunas propiedades geométricas


Alguien debió pensar que esta forma de encontrarse en un círculo era muy chula, por que decidió utilizarla para encontrar cosas en cualquier sitio. Basta con dibujar infinitos circulos concéntricos, cada uno con un radio diferente. Para localizar cada cosa, basta con decir en cual de esos círculos está; para encontrarlo dentro de él, podemos usar los métodos anteriores: por ejemplo, dar el ángulo. Así, podemos localizar cualquier cosa en un plano dando dos números, (r,\ \theta). Damos la bienvenida a las coordenadas polares.

De hecho, las polares sirven para calcular unas cuantas propiedades geométricas del círculo de forma muy sencilla. Para empezar, podemos calcular su longitud. Muy sencillo, basta dividir el círculo en trozos muy pequeñitos, que llamaremos elementos de árco, \dd s. Sumando (integrando) todas estas contribuciones, tendremos la longitud total. Y como sabemos la relación entre el árco y los ángulos, \dd s = r \dd \theta, la integral será muy sencillita,

\ell = \int \dd s = \int_0^{2\pi} r \dd\theta = 2\pi r\ .

Otra cosa sencillita de calcular es el área del recinto cerrado en el interior del círculo. Nos basta en dividir este recinto en circunferencias muy finitas, de ancho infinitesimal \dd r. Al ser tan estrecho, nos vale considerar que su área es el archi-conocido base por altura. Es decir, \dd S = \ell(r) \dd r. La integral vuelve a ser bastante sencilla,

S = \int \dd r\ \ell(r) = \int_0^r \dd r\ (2\pi r) = \pi r^2 \ .


Otra forma de encontrarse: proyección estereográfica

Siempre hay quien le parece raro que el ángulo tenga un rango limitado, de 0 a 2\pi. Pues bien, existe una forma de proyectar un círculo a toda la recta real. Se llama proyección estereográfica. El procedimiento es el siguiente: elegimos un punto de referencia, normalmente el punto de más arriba. En el punto diametralmente opuesto, dibujamos la recta tangente. Pues bien, ahora elegimos un punto cualquiera del círculo, y trazamos la recta que pasa por dicho punto y por el de referencia. Dicha recta cortará en un sólo punto con la recta tangente que hemos dibujado antes. Ese punto de corte representa la proyección estereográfica... en fin, es más fácil dibujarlo que redactarlo.

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Vamos a currarnos un poco más la proyección estereográfica del círculo. Trabajamos, de nuevo, en unidades donde r=1. Como punto de referencia, elegimos lo que podríamos llamar el polo norte, el punto (0, 1). El punto diamentralmente opuesto es (0,-1), y la recta tangente aquí se describe mediante la sencilla ecuación y=-1. Elegimos un punto cualquiera del círculo, situado a un ángulo \theta cualquiera; llamamos a este punto (a,\ b) = (\cos\theta,\ \sin\theta).

Tal y como hemos dicho, ahora hace falta encontrar la recta que une el punto de referencia y el correspondiente. Vale, aquí hace falta recordar algo de geometría lineal: la recta que une dos puntos (p_1,\ p_2) y (q_1,\ q_2) debe cumplir

\frac{x-p_1}{q_1-p_1} = \frac{y-p_2}{q_2-p_2}\ .

No me voy a extender a demostrar esta relación, sólo voy a justificarla un poco. Es una ecuación lineal, y como sólo tiene una igualdad reduce los grados de libertad iniciales (dos) a únicamente uno: por lo tanto, es una recta. Y la igualdad se cumple para cualquiera de los dos puntos dados, así que dicha recta pasa por ellos. Ea, demostrado.

En nuestro caso, la recta que nos interesa se escribe tal que así

\frac{x}{\cos\theta} = \frac{y-1}{\sin\theta-1}\ .

Por último, nos queda encontrar el punto de corte entre esta recta y la recta y=-1. Sencillo, basta con substituir, aislar y listo

x = \frac{2\cos\theta}{1-\sin\theta}\ .

Si uno se pone a estudiar esta x como función del ángulo, veremos que el recorrido es el conjunto de todos los reales. Es decir, para cada número real, existe un ángulo (y sólo uno) tal que su proyección estereográfica es ese número real. Vale, no es muy emocionante, pero es que la proyección estereográfica no se inventó para simples círculos.
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Actualizado 30/12/2008 a las 02:01:48 por pod

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Matemáticas

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