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Tras la puerta de Tannhäuser

Jugando con 3-esferas

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Seguro que alguna vez te has imaginado moverte con libertad por el espacio, no estar atado o atada a la tierra y volar entre galaxias. Si eres un poco más rarito o rarita, puede que incluso hayas imaginado que moviéndote en linea recta acababas llegando al mismo punto de partida tras cierto tiempo. Es posible que al darte cuenta de lo que habías pensado, te justificaras diciendo "si hombre, igual que si camino 40 mil kilómetros en linea recta aquí en la tierra, vuelvo al mismo lugar... lo mismo, pero en tres dimensiones". Reconócelo, lo has pensado. Vale, no voy a ser yo el que te haga dejar de flipar. De hecho, hoy me voy a dedicar a explicar que es eso que es como la superficie de la tierra pero en tres dimensiones.

Comencemos por darle nombre a la bestia: 3-esfera. No nos hemos matado, ¿verdad? En cualquier caso, podemos abreviarlo por S^3. La S por esfera, y el tres por que tiene tres dimensiones. Como siempre, la mejor forma de estudiar algo es verlo desde fuera; y para estar fuera lo que necesitamos es una dimensión más. Dicho de otra forma, una 3-esfera es un objeto tridimensional que vive dentro de un espacio de cuatro dimensiones. Sí, igual que una esfera normal (una 2-esfera) es un objeto de dos dimensiones que vive en un espacio de tres dimensiones.

Igual lo de cuatro dimensiones suena muy chungo, pero no es para asustarse. Es básicamente lo mismo que tres dimensiones, pero con una más. Podemos tener ejes coordenados, que nos sirven para definir coordenadas cartesianas (x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4). La única complicación realmente extra que tenemos es que no podemos dibujar las cuatro dimensiones, simplemente por que vivimos en tres y nunca hemos visto nada de cuatro dimensiones. Somos buenos viendo cosas de una dimensión, excelentes imaginándonos dos y alcanzamos la maestría con las tres, pero la cuarta está totalmente fuera de nuestra experiencia. Da igual, para eso hemos aprendido mates, para ir tirando sin necesitar dibujos.

Pues si tenemos cuatro dimensiones, y la 3-esfera tiene tres, significa que debemos imponer una condición. Recordad, cada condición (normalmente) reduce en uno la dimensionalidad. Esta condición os sonará,

x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = r^2 \ .

¡Exacto! Lo que dice esta condición es que todos los puntos de la 3-esfera se encuentran a una misma distancia r, llamada radio, del punto (0, 0, 0, 0).


¿Dónde estoy?

Vale, ya sabemos cual va a ser el jardín de hoy. Como esto de tantas dimensiones marea un poco, más vale que tengamos un buen modo de localizarnos en esta 3-esfera tan rara. Es decir, tenemos que establecer un sistema de coordenadas. Hemos aprendido ya que los senos y cosenos funcionan muy bien para cosas que se relacionan mediante sumas de cuadrados; basta con ir combinándolos de forma que al final se satisfaga la relación (1). Es como armar un puzle. Esta vez voy a ahorrarte romperte la cabeza y te voy a dar el resultado. Como el cacharro de hoy tiene tres dimensiones, necesitamos tres ángulos, que vamos a llamar \alpha, \theta y \varphi,

\begin{aligned} 
x_1 & = r \sin\alpha \cos\theta \sin\varphi\ , \\ 
x_2 & = r \sin\alpha \sin\the...

Para recorrer todos los puntos de la 3-esfera, sin dejarte ni repetir ninguno, dos de estos ángulos deben recorrer medio circulo (de 0 a \pi), mientras que el otro debe dar toda la vuelta (de 0 a 2\pi). En realidad, no importa que ángulo se elija para que dé toda la vuelta, pero por alguna razón suele elegirse \varphi.

Si os dais cuenta, para \alpha fijo, las tres primeras coordenadas se comportan igual que una esfera normal de las que vimos el otro día, con radio r' = r\sin\alpha. Es decir, una S^3 está hecha de muchas S^2 de diferentes radios. Esto es lo mismo que decir que una esfera normal y corriente está hecha de muchos círculos de diferentes radios: los paralelos.


El tamaño de una S³


Esta partición en rodajas esféricas nos va a ser muy útil para calcular el volumen tridimensional de una 3-esfera. Cada una de estas lonchas esféricas subtiende un diferencial de ángulo \dd \alpha, por lo que su altura será r\dd\alpha. Como siempre, la gracia de considerar cosas tan finas es que el volumen se puede escribir como el de un prisma cualquiera: base por altura. Y la superficie de la base es precisamente la superficie de una esfera de radio r' = r\sin\alpha, que como ya sabemos es 4\pi {r'}^2. Y, con todo esto, basta con plantear una integral que sume todas las contribuciones de los diferentes tajos,

V_3 = \int_0^\pi \!\!\dd\alpha\ r\ 4\pi r^2 \sin^2\alpha = 2 \pi^2 r^3 \ .

La 3-esfera divide el espacio cuadridimensional en dos: dentro y fuera. Podemos calcular la cantidad de espacio cuadridimensional, una especie de 4-volumen, utilizando el método usual: dividimos este 4-volumen en muchas 3-esferas de espesor infinitesimal, \dd r, y radio variable entre 0 y r. De nuevo, el 4-volumen será igual al 3-volumen de la 3-esfera (que acabamos de calcular) multiplicado por el espesor,

V_4 = \int_0^r \!\! \dd r\ 2\pi^2 r^3 = \frac{\pi^2 r^4}{2}\ .

Todo esto era un trabalenguas... pero debería ser sencillo de entender. Es justamente lo mismo que llevamos haciendo con círculos y esferas normales.


Ver todo esto de forma un poco más normal...

Una buena forma de observar la 3-esfera es realizar su proyección estereográfica a un espacio tridimensional tangente. A estas alturas ya somos experto en ello: empezamos por utilizar un sistema de unidades en que r=1; y tomamos un punto de referencia, por ejemplo (1, 0, 0, 0). En el punto diametralmente opuesto, trazamos el espacio tridimensional tangente a la S^3, cuya ecuación es x_4 = -1. Para un punto cualquiera de la 3-esfera, (a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4), trazamos la recta que lo une con el punto de referencia. Dicha recta corta en un único punto el espacio tridimensional tangente que acabamos de describir; ese punto será la proyección que andamos buscando.

Bueno, veamos que significa todo esto. La recta que une ambos puntos descritos es

\frac{x_1}{a_1} = \frac{x_2}{a_2} = \frac{x_3}{a_3} =\frac{x_4-1}{a_4-1} \ .

El punto de intersección cumple x_4 = -1, con lo cual

\begin{aligned} 
x_1 & = \cot\frac\alpha 2\ \sin\theta \cos\varphi \ , \\ 
x_2 & = \cot\frac\alph...

Como ya tenemos algo de experiencia en estas cosas, nos damos cuenta que este es exactamente el cambio a coordenadas esféricas, donde el radio es \cot\frac\alpha2. Los puntos con \theta y \varphi constantes, con \alpha variando de 0 a \pi, se proyectan a rectas que pasan por el origen y con la orientación dada por la colatitud \theta y longitud \varphi. Por otro lado, los puntos dados por \alpha fijo, dejando variar los otros dos ángulos en sus rangos respectivos se proyectan a una esfera centrada en el origen y radio dado por la cotangente de \alpha/2; el ángulo \varphi selecciona el meridiano, y \theta el paralelo. Viene a ser algo así:

Nombre:  proyeccion S3.png
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Comentarios

  1. Avatar de quasarilla
    Me gustan tus articulos, son de lo mas interesantes.
  2. Avatar de Adosgel
    Muy bueno pod. Ahora solo nos queda entenderlo como algo observacional, jeje, a ver quien lo consigue.
  3. Avatar de pod
    ¿Y quien te ha dicho que no es observacional ya?
  4. Avatar de Adosgel
    ¿Una esfera de cuatro coordenadas espaciales?. Necesitarías concebir un espacio tetradimensional en una observación temporal. Así si lo es.

    ¡Que más quisiera yo que poder observarlo!. Pero, hoy por hoy, creo que no tengo el diseño biológico adecuado. ¡¡Chachisss!!.

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