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Buscando a Ítaca - El blog de Ulises7

Introducción a cinemática III

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Esta parte es una continuación de: Introducción a cinemática II


Vamos a estudiar algunos movimientos:


Movimiento rectilíneo uniforme ( MRU )


Un móvil describe un MRU cuando su trayectoria es una recta y su velocidad es constante, por tanto la aceleración es nula.


Ecuación de la posición:

\displaystyle \vec{v} = \frac{\dd \vec{r}}{\dd t} \Longrightarrow \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}}\dd \...


\boxed {\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v}( t - t_0 )}


Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ( MRUA )



Un móvil describe un MRUA cuando su trayectoria es una recta y su aceleración es constante.


Ecuación de la velocidad:

\displaystyle \vec{a} = \frac{\dd \vec{v}}{\dd t} \Longrightarrow \int_{t_0}^{t}\vec{a}\dd t = \i...


\boxed {\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}(t - t_0)}


Ecuación de la posición:

\displaystyle \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}}\dd \vec{r} = \int_{{t_0}}^{t}\vec{v}\dd t

\displaystyle \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}}\dd \vec{r} = \int_{{t_0}}^{t}(\vec{v_0} + \vec{a}\Delta ...

\displaystyle \Delta \vec{r} = \int_{{t_0}}^{t} \vec{v_0}\dd t + \int_{{t_0}}^{t}\vec{a}\Delta t ...

\displaystyle \Delta\vec{r} = \vec{v_0}\Delta t + \frac{1}{2}\vec{a}\Delta t^2

\boxed {\displaystyle \vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}(t - t_0) + \frac{1}{2}\vec{a}(t - t_0)^2}


También se puede llegar a esta ecuación sin utilizar integrales y derivadas:

Sabiendo que \vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_m} \Delta t y \vec{v_m} = \dfrac{1}{2}( \vec{v_0} + \vec{v} ) ( Donde \vec{v_m} es la velocidad media de la distancia recorrida )

\vec{r} = \vec{r_0} + (\dfrac{\vec{v_0} + \vec{v}}{2})\Delta t

Como \vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}(t - t_0) pues,

\vec{r} = \vec{r_0} + (\dfrac{\vec{v_0} + \vec{v_0} + \vec{a}(t - t_0) }{2})\Delta t

\vec{r} = \vec{r_0} + (\dfrac{2\vec{v_0} + \vec{a}\Delta t }{2})\Delta t

\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}\Delta t + \dfrac{1}{2}\vec{a}\Delta t^2


 \boxed{ \vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}( t - t_0 ) + \dfrac{1}{2}\vec{a} ( t - t_0 )^2}

Como podemos ver es exactamente la misma ecuación.

Si aislamos el tiempo en la ecuación de la velocidad obtenemos:


\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}(t - t_0)

\Delta t = \dfrac{ \vec{v} - \vec{v_0}}{\vec{a}}

Y substituimos esta expresión en la ecuación de la posición:

\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}\Delta t + \dfrac{1}{2}\vec{a}\Delta t^2 = \vec{r_0} + \vec{v_0}(\...

\Delta \vec{r} = \dfrac{\vec{v}\vec{v_0} - \vec{v_0^2}}{\vec{a}} + \dfrac{\vec{v^2} - 2\vec{v}\ve...

Y llegamos a la expresión:

\boxed {\vec{v^2} - \vec{v^2_0} = 2\vec{a}\Delta \vec{r}}

Esta expresión será muy útil en diversos casos y es idónea cuando no tenemos el tiempo.


Por tanto resumiendo tenemos que las ecuaciones de un MRUA son:

 
\begin{Bmatrix} \displaystyle \vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}(t - t_0) \\ \vec{r} = \vec{r_0} + ...



Movimiento circular uniforme ( MCU )


Un móvil describe un MCU cuando describe una trayectoria circular de radio R y con una velocidad angular \omega constante.

Sabemos que el vector de posición es:

\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} = R \cos\omega t\vec{i} + R \sin\omega t \vec{j}

Donde x = R \cos\omega t ; y = R \sin\omega t

La velocidad lineal del móvil es:

\vec{v} = \dfrac{\dd \vec{r}}{\dd t} = -R\omega\sin\omega t\vec{i} + R\omega\cos\omega t \vec{j} ...

La aceleración lineal es:

 
\vec{a} = \dfrac{\dd \vec{v}}{\dd t} = -R\omega^2\cos\omega t\vec{i} - R\omega^2\sin\omega t \...

\boxed{\vec{a} =  -\omega^2\vec{r}}

Haz click en la imagen para ampliar. 

Nombre:  Moviment_circular.jpg 
Vistas: 1417 
Tamaño:  9,8 KB 
ID: 1760



El vector aceleración tiene la dirección del vector posición pero sentido contrario, se dirige hacia el centro y es la aceleración centrípeta, la aceleración tangencial es nula ya que la velocidad se mantiene constante.

Lo dejamos de momento.


Saludos


Ulises
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Actualizado 30/07/2010 a las 13:17:00 por Ulises7

Etiquetas: cinemática
Categorías
Física

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