Mis disculpas señor Bohm (III)

[Entro]

Derivando el campo vectorial.

La primera vez que uno la ve, la definición el campo vectorial $v_\psi$ parece un poco traida por los pelos. Vamos a intentar justificarla de la manera más simple posible. Hemos de puntualizar que esto es una justificación y no una prueba de su existencia que se puede lograr haciendo un estudio pormenorizado de la geometría del espacio de configuración. Sin embargo, trataremos de justificarla sin recurrir a términos geométricos duros.

Asumamos inicialmente que la densidad de probabilidad vendrá dada a la Born $\psi^*\psi$ (a partir de ahora omitiremos las dependencias (q,t) que deberán de ser recordadas, y serán explícitamente escritas cuando sea necesario).

Como es conocido la densidad de probabilidad verifica una ecuación de continuidad que nos indica la evolución unitaria del estado cuántico.

$\frac{\partial |\psi|^2}{\partial t}+\nabla j_\psi=0$.

Par la i-ésima partícula tendremos que la corriente de probabilidad asociada es:

$j^{(\psi)}_i=\frac{\hbar}{2im_i}(\psi^*\nabla_i\psi-\psi\nabla_i\psi^*)=\frac{\hbar}{m_i}Im(\psi^*\nabla_i\psi)$

La expresión general para todas las partículas (sumando todas las contribuciones quedaría:

$j_\psi=\frac{\hbar}{m}Im(\psi^*\nabla\psi)$

Si calculamos la divergencia de la corriente de probabilidad $\nabla\cdot j_\psi$, es claro que se tiene que cumplir lo siguiente:

$\nabla\cdot j_\psi=\nabla\cdot \frac{j_\psi}{|\psi|^2}|\psi|^2$.

Si ahora definimos $j_\psi/|\psi|^2=:v_\psi$ ya que queda claro que eso es un campo vectorial bien definido, obtenemos:

$v_\psi=\frac{\hbar}{m}Im(\frac{\nabla\psi}{\psi})$

Y la expresión de la ecuación quedaría:

$\frac{\partial |\psi|^2|}{\partial t}+\nabla\cdot(v_\psi |\psi|^2)=0$

Y esto quiere decir que la densidad de probabilidad es transportada a lo largo de las líneas integrales dadas por el vector $v_\psi$.

Por lo tanto las trayectorias en la mecánica de Bohm son las lineas de flujo de un campo vectorial sobre las que se transporta la probabilidad.