Bueno, quisiera contaros una pequeña historia de amor, del Rotacional y la Divergencia, y cómo, juntos, pueden ser la clave de todo. Vamos a empezar con lo primero, las definiciones, y cuando tengamos una idea de qué son, vamos a ver para qué sirven.


Definimos la divergencia de un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas como






El rotacional del campo vectorial de nuevo expresado en coordenadas cartesianas se define como






Existe otra manera, geométrica, de introducir los conceptos de rotacional y divergencia de un campo vectorial









donde la integral de superficie cerrada se realiza cogiendo un volumen pequeño y donde es la frontera de esta región que contiene al punto donde nos interesa obtener el valor de la divergencia o del rotacional. Esta definición tiene la ventaja de que es independiente del tipo de sistema de coordenadas con el que se trabaja, sea cartesiano, cilíndrico, esférico, etc...



Abusando un poco de la notación, y apartir de la definición del operador nabla






podemos expresar la divergencia y el rotacional en función del operador nabla.








Esta forma de expresar la divergencia y rotacional de un campo vectorial es un abuso de notación por dos motivos: en primer lugar, el producto entre el símbolo y una función lo debemos entender como aplicar el operador derivación parcial a esa función, y en segundo lugar, el producto escalar, forma bilineal simétrica definida positiva que es, implica que . Es decir, dada un campo escalar , se debe tener que . Ahora bien, vamos a considerar el primer lugar :






¿Qué pasaría con ? Veamos:






que desde luego no coincide con .



Originalmente, Josiah Willard Gibbs quiso introducir los símbolos y como entidades nuevas con propiedades nuevas y distintas a lo que normalmente se entiende como producto escalar y producto vectorial. No obstante, E.B Wilson y Oliver Heaviside fueron los responsables de propagar este abuso de notación sin aclarar que realmente no se trata de los productos escalar y vectorial usuales.



Una vez finalizada la introducción teórica de la divergencia y del rotacional, paso a presentar dónde se usan, y usaré como ejemplo el lugar más común donde aparecen: el estudio del Electromagnetismo. Las Ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de cualquier campo electromagnético estático (para situaciones dinámicas, es decir, cargas en movimiento, necesitamos además la ley de Lorentz), y vienen dadas por las siguientes cuatro ecuaciones vectoriales:















Ahora bien, ¿cuál es la importancia de conocer la divergencia y el rotacional de un campo vectorial? ¿Por qué es tan conveniente esta formulación del electromagnetismo? La razón es doble:



1) Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz nos da la primera respuesta con dos teoremas. El primero de ellos dice que un campo vectorial se conoce de forma biunívoca dados su divergencia y su rotacional dentro de un dominio simplemente conexo y la componente normal a la frontera del dominio. El segundo teorema, que es el que realmente se conoce como el Teorema de Helmholtz, afirma que si conocemos para todos los puntos de un volumen finito el rotacional y la divergencia de un campo vectorial y éstos (la divergencia y el rotacional) tienden a cuando , entonces el campo vectorial lo podemos escribir como la superposición de dos partes, una irrotacional (de rotacional nulo) y otra solenoidal (de divergencia nula):






donde






y






En estas expresiones, es la magnitud del vector de posición relativa.



Ya que el campo vectorial se puede calcular apartir de ellas, su divergencia y su rotacional se conocen como las ecuaciones fuente del campo .



De esta manera, de forma teórica, y dadas unas hipótesis, se puede llegar a conocer un campo vectorial conociendo su divergencia y su rotacional.



2) La divergencia y el rotacional de un campo vectorial también nos permiten conocer el comportamiento de un campo vectorial a ambos lados de la frontera de separación de dos medios con propiedades distintas.



La divergencia nos permite conocer cómo varía la componente normal a un lado y a otro de la frontera de separación de dos medios:






donde es el vector unitario normal a la superficie de separación de los dos medios, que apunta del primer medio al segundo, es el valor del campo vectorial en el segundo medio en el lado correspondiente de la frontera, y es el valor del campo vectorial en el primer medio en el lado correspondiente de la frontera, y es el espesor de la capa de transición.



De forma análoga, el rotacional permite caracterizar el cambio de las componentes tangenciales:






donde se ha usado la misma nomenclatura que el caso anterior.



Por ejemplo, si la divergencia de un campo vectorial es siempre nula (un candidato evidentemente es la inducción magnética ) se tiene que su componente normal permanece invariante cuando atraviesa la frontera de separación de dos medios.



Así, queda expuesta la importancia de estos dos operadores vectoriales, y cómo juntos, dan para mucho, como en cualquier relación seria.