[FONT=Book Antiqua]Hola![/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Pues acá nos encontramos nueva vez para continuar con las demostraciones de las derivadas de funciones trigonométricas, las cuales ya habiamos iniciado en [/FONT][FONT=Book Antiqua]este blog [/FONT][FONT=Book Antiqua], con las derivadas del SENO y del COSENO.[/FONT]


[FONT=Book Antiqua]En esta ocasión trabajaremos con las derivadas de las funciones TANGENTE y COTANGENTE.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Primero recordemos algunas indentidades trigonométricas:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]a) [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]b) [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]c) [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]d) [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]e) [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]f) [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]g) [/FONT]


[FONT=Book Antiqua]h) [/FONT]


[FONT=Book Antiqua]i) [/FONT]
[FONT=Book Antiqua]Visto esto, empezaremos demostrando las derivada de la TANGENTE:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Comencemos planteándonos la definición de límite para esta función:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Desarrollamos la Tangente del ángulo doble (inciso h)[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Separemos en dos fracciones el término [/FONT]


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[FONT=Book Antiqua]Tomando factor común [/FONT]


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[FONT=Book Antiqua]Adicionemos las fracciones [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Se convierte en:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Sabiendo que [/FONT]


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[FONT=Book Antiqua]Reescribamos esto para manipularlo mejor:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Aplicando las propiedades de los límites:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Esto se reduce a:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Sustituyendo la indetidad del inciso f):[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Prosigamos con la demostración de la derivada de la COTANGENTE:[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]La definición de límite para esta función es:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Desarrollamos la cotangente del ángulo doble (inciso i)[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Hagamos dos fracciones del término [/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Reordenando: [/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Sumando las fracciones [/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Nos queda:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Acomodamos:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Reescribamos :[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Propiedades de los límites:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Nos queda:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Sustituyendo la indetidad del inciso g):[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Esperen!! aun no terminamos...Podemos demostrar estas derivadas de manera mas sencilla . Para ello utilizaremos la regla de la derivada de un cociente, la cual está demostrada en [/FONT][FONT=Book Antiqua]este blog[/FONT][FONT=Book Antiqua]. Del cual tomaremos prestado esto:[/FONT]


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[FONT=Book Antiqua]Comencemos con la Tangente:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Operacionando:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Retomando la indentidad del inciso e) y c)[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Ahora tomemos la Cotangente:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Simplifiquemos,[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Por conveniencia:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]EN GENERAL:[/FONT]

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[FONT=Book Antiqua]Y así nos damos cuenta que hay varios caminos para llegar a un mismo destino, algunos complejos pero elegantes y otras simplones pero ágiles.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Espero os halla gustado.[/FONT]

[FONT=Book Antiqua]Saludos[/FONT]