Ver canal RSS

La Dual Zona C.

Derivadas Funciones Trigonométricas II

Calificación: 2 votos, 5,00 de media.
por el 24/07/2010 a las 04:13:53 (21584 Visitas)
Hola!

Pues acá nos encontramos nueva vez para continuar con las demostraciones de las derivadas de funciones trigonométricas, las cuales ya habiamos iniciado en este blog , con las derivadas del SENO y del COSENO.


En esta ocasión trabajaremos con las derivadas de las funciones TANGENTE y COTANGENTE.

Primero recordemos algunas indentidades trigonométricas:

a) \displaystyle \tan{x}=\frac{\sin{x}}{ \cos{x}}

b) \displaystyle \cot{x}=\frac{\cos{x}}{ \sin{x}}

c) \dst{\sec x=\frac{1}{\cos{x} }}

d) \dst{\csc x=\frac{1}{ \sin{x}}}

e) \dst{\sin^2{x}+\cos^2{x}=1}

f) \dst{\tan^2{x}+1=\sec^2 x}

g) \dst{1+\cot^2{x}=\csc^2 x}


h) \dst{\tan(a+b)=\frac{\tan{a}+\tan{b}}{1-\tan{a} \cdot\tan{b}}}


i) \dst{\cot(a+b)=\frac{1-\tan{a} \cdot\tan {b}}{\tan{a}+\tan{b}}}
Visto esto, empezaremos demostrando las derivada de la TANGENTE:

Comencemos planteándonos la definición de límite para esta función:

f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\tan(x+h)-\tan{x}}{ h}



Desarrollamos la Tangente del ángulo doble (inciso h)

\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\dst{\frac{\tan{x}+\tan{h}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}...



Separemos en dos fracciones el término \left(\displaystyle \frac{\tan{x}+\tan{h}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}\right)


\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{\tan{x}}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}+\frac{\tan{h...



Tomando factor común \displaystyle \left(-\tan x\right)


\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{-\tan x\left(-\frac{1}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}+1\ri...


Adicionemos las fracciones \left(-\frac{1}{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}+1\right)

Se convierte en:

\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\frac{-\tan x\left(\frac{-\tan x\cdot \tan h}{1-\tan{x} \...



Sabiendo que \displaystyle\frac{\displaystyle a / b}{\displaystyle c / d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}


\displaystyle f'(\tan{x})=\lim_{h \to 0}\left(-\tan x\left(\frac{-\tan x\cdot \tan h}{h(1-\tan{x}...



Reescribamos esto para manipularlo mejor:

f'(\tan x)=\lim_{x \to 0}\left(\tan^2 x\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos h}\cdot\frac{1}{1-\tan ...


Aplicando las propiedades de los límites:

\displaystyle f'(\tan x)=\tan^2 x\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace...
\displaystyle\ldots\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{x \to 0}\fra...

Esto se reduce a:

f'(\tan x)=\tan^2 x\cdot (1)\cdot (1)\cdot(1)+(1)\cdot(1)\cdot (1)

f'(\tan x)=\tan^2 x+1

Sustituyendo la indetidad del inciso f):

\boxed{f'(\tan x)=\sec^2 x}


Prosigamos con la demostración de la derivada de la COTANGENTE:

La definición de límite para esta función es:

f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\frac{\cot(x+h)-\cot{x}}{ h}



Desarrollamos la cotangente del ángulo doble (inciso i)

\displaystyle f'(\cot x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}{\tan x+\tan{h}}-\cot {...



Hagamos dos fracciones del término \displaystyle\left( \frac{1-\tan{x} \cdot\tan{h}}{\tan x+\tan{h}}\right)

\displaystyle f'(\cot{x})=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{\tan{x} +\tan{h}}-\frac{\tan x\cdot \tan{h...


Reordenando:

\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\frac{\left(\frac{1}{\tan x +\tan h}-\cot x \right)-\frac...


Sumando las fracciones \left(\frac{1}{\tan{x} +\tan{h}}-\cot{x}\right)

Nos queda:

\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\frac{-\frac{\cot x \cdot \tan x}{\tan x +\tan h}-\frac{\...


Acomodamos:

\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\left(-\frac{\cot x \cdot \tan x}{h(\tan x +\tan h)}-\fra...


Reescribamos :

\displaystyle f'(\cot x )=\lim_{h \to 0}\left(-\cot x\frac{\sin h}{h}\frac{1}{\cos h}\frac{1}{\ta...

Propiedades de los límites:

\displaystyle f'(\cot x)=-\cot x\cdot\overbrace{\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{...
\displaystyle\ldots\tan x \cdot\overbrace{\lim_{x \to 0}\frac{\sin h}{h}}^1\cdot\overbrace{\lim_{...


Nos queda:

f'(\cot x)=-\cot x\cdot(1)\cdot (1)\cdot \frac{1}{\tan x}-\tan x \cdot(1)\cdot (1)\cdot \frac{1}{...

f'(\cot x)=-\cot^2 x-1

f'(\cot x)=-\left(\cot^2 x+1\right)



Sustituyendo la indetidad del inciso g):

\boxed{f'(\cot x)=-\csc^2 x}

Esperen!! aun no terminamos...Podemos demostrar estas derivadas de manera mas sencilla . Para ello utilizaremos la regla de la derivada de un cociente, la cual está demostrada en este blog. Del cual tomaremos prestado esto:


\displaystyle \boxed{\boxed{\text{Si}\; y=\frac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot g...

Comencemos con la Tangente:

f'(\tan x)=f'\left(\frac{\sin x}{\cos x }\right)=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot-\sin x }{\co...

Operacionando:

f'(\tan x)=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{ \cos^2 x}

Retomando la indentidad del inciso e) y c)

f'(\tan x)=\frac {1}{ \cos^2 x}

\boxed{f'(\tan x)=\sec^2 x}}

Ahora tomemos la Cotangente:

f'(\cot x)=f'\left(\frac{\cos x}{\sin x }\right)=\frac{-\sin x \cdot \sin x-\cos x\cdot \cos x }{...

Simplifiquemos,

f'(\cot x)=\frac{-\sin ^2 x-\cos ^2 x}{ \sin ^2 x}

Por conveniencia:

f'(\cot x)=\frac{-\left( \sin ^2 x+\cos ^2 x\right)}{ \sin ^2 x}


f'(\cot x)=-\frac {1}{ \sin^2 x}


\boxed{f'(\cot x)=-\csc^2 x}}

EN GENERAL:

\boxed{\boxed{f'(\tan u)=u'\sec^2 u}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{f'(\cot u)=-u' \csc^2...


\dst {\mathbr{L.Q.Q.D.}}


Y así nos damos cuenta que hay varios caminos para llegar a un mismo destino, algunos complejos pero elegantes y otras simplones pero ágiles.

Espero os halla gustado.

Saludos

Enviar "Derivadas Funciones Trigonométricas II" a del.icio.us Enviar "Derivadas Funciones Trigonométricas II" a Google Enviar "Derivadas Funciones Trigonométricas II" a Yahoo! Enviar "Derivadas Funciones Trigonométricas II" a Digg Enviar "Derivadas Funciones Trigonométricas II" a Diigo Enviar "Derivadas Funciones Trigonométricas II" a StumbleUpon Enviar "Derivadas Funciones Trigonométricas II" a Gennio Enviar "Derivadas Funciones Trigonométricas II" a Menéame

Actualizado 03/08/2010 a las 13:38:03 por Cris

Categorías
Matemáticas

Comentarios

  1. Avatar de angel relativamente
    Hey Cris, ya lo ley, es un gran trabajo.
    Otro detalle, cuando dices:

    [ERROR de LaTeX: Imagen demasiado grande 813x37, máx 600x550]

    ¿No querrás decir:?

    [ERROR de LaTeX: Imagen demasiado grande 813x37, máx 600x550]

    Saludos, esperando tu 3er articulo
  2. Avatar de Cris
    Hey Angel!

    Gracias por la revisión, lo he corregido.

    El tercer artículo está casi listo...
  3. Avatar de Stormkalt
    Hola Cris.

    Muy buen y esmerado trabajo.
    ¡Saludos!
  4. Avatar de Cris
    Gracias por leerme Stormkalt!

    Es bueno saber que alguien se detiene a leer esto!

Trackbacks

Trackbacks totales 0
URL de trackback: