El objetivo es simplemente desarrollar un ejemplo curioso que encontré hace algún tiempo.

La idea es estudiar el pozo de potencial infinito unidimensional de toda la vida, pero añadiendole otra dimensión adicional, solo que compacta (y circular de hecho), de manera que lo que se tiene es un cilindro (de radio , digamos).

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Llamemos a la coordenada a lo largo de la dimensión extendida, como se muestra en la fígura.
Llamemos a la coordenada a lo largo de la dimesión circular.

Tenemos que la ecuación de Schrodinger dentro del pozo es:


o:


Ahora, se aplica separación de variables proponiendo que .

Reemplazando esto ultimo en (2) se llega a que:


y así:


Donde y son independientes de e , y además cumplen que

-La solución general de (4) es:


donde .

Se tiene que para garantizar que , y que (con ) debido a que .

- Para la dimensión circular se tiene que la solución general es:

donde .

Dado que la dimensión es circular, el punto es de hecho el mismo punto , por eso se impone que lo que a su vez implica que .

Así, debido a que:

tenemos que o .

Por último:



Bueno, con esto ya se obtienen todas la energías permitidas.

Cuando , se obtiene que , el cual es el espectro de energías para el problema unidimensional.

El primer valor nuevo de energía sería , de donde vemos que si la dimensión es muy pequeña (), ese nuevo nivel de energía se encontraría en un escalafón muy alto en el espectro, de modo que para bajos niveles de energía el papel de la dimensión extra quedaría desapercibida.