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Malevolex

La física del Puenting

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Resulta que durante este verano fui con unos amigos a hacer puenting y no quería lanzarme, mientras les observaba traté de desarrollar la física detrás de este deporte. Además, desde hace tiempo he querido hacer mi segundo blog, así que pensé ¿por qué no hago un blog del puenting? Con baba en la boca por esta idea me puse a hacer garabatos en la libreta mientras saltaban mis amigos, una vez desarrollados los publiqué aquí. Sin embargo, antes de entrar en las mates vamos a explicar qué es eso del "puenting", porque existe la posibilidad de que mi lector no sepa de lo que hablo.

El "puenting", también conocido como bungee jumping, bungy jumping o puentismo, es una actividad en la cual una persona se lanza desde una altura atado a una cuerda elástica. Al cabo de un tiempo la cuerda se tensa y vuelves a ascender, así sucesivamente uno comienza a balancear hasta llegar a un punto de equilibro. Para tener una idea mejor mire este vídeo (el primero que encontré):



Ahora iremos a las mates pero antes hay que hacer unas aclaraciones:
-No he considerado el rozamiento con el aire.
-La energía no se disipa.
-A la persona se le considera puntual.
-Los efectos de la relatividad especial son despreciables.
-Masa de la cuerda es despreciable.
-El sistema de referencia será desde el puente y positiva hacia abajo.
-g es constante.
Al final se considerará el rozamiento con el aire de manera breve.

Para desarrollar las ecuaciones tuve que hacer un par de observaciones, me fijé que hay dos partes en el balanceo. La primera es cuando te lanzas con una velocidad inicial de 0 m/s y te ves acelerado progresivamente por la gravedad. Llega un punto en el que la cuerda se tensa (z=l) y empieza a disminuir tu caída, esta es la segunda parte. Por último pero no menos importante asciendes y repites el mismo proceso hasta que llegas a la posición de equilibro, pero esto no lo consideramos como otra parte porque la energía se conserva (para simplificar los cálculos).

Asimismo tuve que hacer un dibujo para facilitar las cosas:

Nombre:  esquema 001.jpg
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Tamaño: 25,4 KB

Ahora comienza la parte más divertida, teniendo en cuenta las observaciones obtenidas (las puedes comprobar en el vídeo) y la notación de mi dibujo, hacer una función para la aceleración en función de z.

La primera parte sería para un z \in [0,l), a partir de l empieza la segunda parte, y la aceleración será
a(z)=g \forall z / 0 \leqslant z < l (I)

La segunda parte dependerá de la elasticidad de la cuerda, pero vamos a suponer que llega hasta el suelo. Por tanto será para un z \in [l,h]. Para hallar a(z) lo haremos despejando:
F=P-{F}_{e }
Donde F es la fuerza neta, p el peso del hombre (en Newtons) y {F}_{e } la fuerza elástica.
Sustituyendo
ma=mg-k(z-l)
Despejando llegamos a que:
a(z)=g-\dst\frac{k(z-l)}{m } \forall z / l \leqslant z \leqslant h (II)
Combinando (I) y (II) tenemos:
a(z)=g \forall z / 0 \leqslant z < l
g-\dst\frac{k(z-l)}{ m} \forall z / l \leqslant z \leqslant h

Esta es la gráfica aproximada:
Nombre:  asdf.jpg
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Ahora vamos con la velocidad v(z). He de admitir que esta parte me llevó un poco más pero al final la saqué, como sabemos:
{v}^{ 2}={{v}_{ 0}}^{2 }+2az
La velocidad inicial es 0 m/s
v(z)=\sqrt{2az} (III)
Distinguiendo (III) en la distintas partes y sustituyendo por a(z), resulta que:
v(z)=\sqrt{2gz} \forall z / 0 \leqslant z < l
\sqrt{2z(g-\dst\frac{k(z-l)}{ m})} \forall z / l \leqslant z \leqslant h
La gráfica aproximada es:

La tuve que dibujar porque no sé cómo hacerlo en el ordenador :P.

Nombre:  gráfica v 001.jpg
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Tamaño: 14,6 KB
Si el lector me ha seguido bien hasta ahora, se habrá dado cuenta que hay una cosa que no he aclarado y es la constante elástica k. Al principio la dejé para más tarde porque no se me ocurría un método para hallarla, hasta que me vino la "inspiración divina" y se me ocurrió usar la energía potencial elástica para z=h:
\dst\frac{k{((h-l)}^{ 2}}{2 }=mgh
k=\dst\frac{2mgh}{ {(h-l)}^{2 }} (IV)

Ahora lo que nos falta es calcular en qué puntos la aceleración es mínima y máxima, y lo mismo con la velocidad.

La aceleración será máxima al principio (z=0) y al final (z=h), pero la aceleración mínima será 0 en el punto en el que P={F}_{e }
Sustituyendo:
mg=k(z-l)
z=\frac{mg}{ k}+l (V)

La aceleración máxima al principio es g, y al final g-\dst\frac{k(h-l)}{m }
La velocidad será mínima (0 m/s) al principio (z=0) y al final (z=h), pero ¿Cuál es la velocidad máxima?
Evidentemente será en el punto en el que a(z)=0, es decir,
z=\frac{mg}{ k}+l.
Por tanto la velocidad máxima será


{v}_{ m}=\sqrt{2z(g-\dst\frac{k(\frac{mg}{ k}+l)}{ m}) (VI)


Si consideramos que hay rozamiento con el aire, entonces se trataría de un M.A.S. amortiguado z={A}_{0 }{e}^{-bt }cos(\omega t), es decir, que se balancea cada vez menos hasta llegar al punto de equilibrio
z=\frac{mg}{ k}+l

Conclusión: La física esta en todos lados y solo necesitamos un lápiz, un papel, una cabeza y ganas para desarrollar las ecuaciones.

Espero que hayan disfrutado del blog y nos vemos en la siguiente
Malevolex

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Actualizado 31/08/2015 a las 17:23:21 por Malevolex

Categorías
Física , Personal , Matemáticas

Comentarios

  1. Avatar de Richard R Richard
    Excelente , te has ubicado con la mejor vista....

    con la suposición h=z, y agarrado de los pies....me has dado escalosfrio, ahora entiendo porque le dicen deporte extremo


    Saludos
  2. Avatar de Malevolex
    Gracias.

    Pd: ahora estoy buscando otro deporte donde poder aplicar la física a mi nivel como hice con este.
    Actualizado 01/09/2015 a las 08:44:30 por Malevolex
  3. Avatar de Richard R Richard
    Estas seguro que no anduviste de vacaciones por aqui

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