Ver canal RSS

Pescando ideas

Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann

Calificación: 2 votos, 5,00 de media.
Teniendo en cuenta el Principio Cosmológico y el Postulado de Weyl se puede establecer un ansatz simétrico para la métrica del espacio-tiempo .

\dd s^2= \dd t^2 - S(t)^2g_{ij}\dd x^i \dd x^j

donde g_{ij} es la métrica de  \mathbb{R}^3

de esta manera el tensor de Riemann de esta métrica cumple que

R_{ijkl}=k(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})

y que el tensor de Ricci sera

R_{ij}=-2kg_{ij}

esto verifica que se cumple la condición de ser un espacio con cantidad máxima de simetrías y con curvatura constante.

Además la isotropía del espacio tiene implicancia en que el ansatz debe contar con simetría esférica.

asi se propone en  \mathbb{R}^3

\dd s^2= e^{2B(r)}\dd r^2+ r^2(\dd \theta^2 + sin^2 \theta \dd\phi^2)

Los símbolos de Christoffel no nulos para este ansatz son


\Gamma^r_{rr}=B' \Gamma^{\theta}_{r\theta}=\Gamma^{\phi}_{r\phi}=\dfrac 1r
\Gamma^{r}_{\theta\theta}=-r e^{-2B} \Gamma^{\theta}_{\phi\phi}=-\sin \theta \cos \theta
\Gamma^{r}_{\phi\phi}=-r  sin^2\theta e^{-2B} \Gamma^{\phi}_{\theta\phi}=\cot \theta


con ellos hallamos las componentes no triviales del tensor de Ricci

\left\{\begin{aligned}R_{rr}&=-\dfrac{2B'}{r}\\R_{\theta\theta}&=-1 + e^{-2B} - rB'e^{-2B}\\R_{\p...

De estas ecuaciones se desprende que

\dfrac {B'}{r}= ke^{2B}

y

-e^{-2B}(1-rB')+1=2kr^2

de estas dos se obtiene que

 e^{2B}=\dfrac1{1-kr^2}

reemplazando en el ansatz tenemos que

\dd s^2= \dfrac1{1-kr^2}\dd r^2+ r^2(\dd \theta^2 + sin^2 \theta \dd\phi^2)

que nos da la parte espacial de la métrica FRLW



Obtención de la ecuaciones de Friedmann a partir de la métrica FRLW


La métrica FLRW se compone en \mathbb{R}^3_1 una componente temporal y de una espacial proveniente deducción anterior , pero multiplicada por un factor de escala exclusivamente dependiente del tiempo .

\dst{ [g_{uv}]=\begin{bmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{a^2}{(1- k r^2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a...

Y su inversa es

\dst{ [g^{uv}]=\begin{bmatrix}\frac 1{-c^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac {(1- k r^2)} {a^2} & 0 & 0 \\...


El primer paso para obtener las ecuaciones de Friedmann consiste en hallar los componentes de la conexión de Levi Civita, osea los símbolos de Christofel

Como dato necesitamos calcular las derivadas de las componentes de la métrica con respecto a las coordenadas del sistema de referencia.

Nombramos {0,1,2,3} a la serie de componentes {t,r,\theta,\phi}


\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_t}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{2a\dot a}{...

\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_r}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{ a^2k2r}{(...

\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_\theta}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \...

\dst {\dfrac {\partial_[g_{uv}]}{\partial_\phi}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ ...

El cálculo de los símbolos de Christofel se hace mediante la fórmula

\Gamma_{ij}^m=\dfrac12 g^{km}\left (\partial_i g_{jk}+\partial_j g_{ik}-\partial_k g_{ij} \right )


Ej

\Gamma_{12}^0=\dfrac12 g^{k0}\left (\partial_2 g_{2k}+\partial_2 g_{1k}-\partial_k g_{12} \right )=



\Gamma_{12}^0=\dfrac12 g^{00}\left (\partial_2 g_{20}+(\partial_2 g_{10}-(\partial_0 g_{12} \righ...\dfrac12 g^{10}\left (\partial_2 g_{21}+(\partial_2 g_{11}-(\partial_1 g_{12} \right )+\dfrac12 g^{20}\left (\partial_2 g_{22}+(\partial_2 g_{12}-(\partial_2 g_{12} \right )+\dfrac12 g^{30}\left (\partial_2 g_{23}+(\partial_2 g_{13}-(\partial_3 g_{12} \right )

de donde

\Gamma_{12}^0=0

Los resultados no triviales del total de los 64 símbolos de Christoffel son


\Gamma^1_{01}=\dfrac {\dot a}{a} \Gamma^2_{02}=\dfrac {\dot a}{a} \Gamma^3_{03}=\dfrac {\dot a}{a} \Gamma^1_{10}=\dfrac {\dot a}{a}
\Gamma^0_{11}=\dfrac{a\dot a}{c^2(1-kr^2)} \Gamma^1_{11}=\dfrac{kr}{1-kr^2} \Gamma^2_{12}=\dfrac {1}{r} \Gamma^3_{13}=\dfrac{1}{r}
\Gamma^2_{21}=\dfrac {1}{r} \Gamma^2_{20}=\dfrac {\dot a}{a} \Gamma^0_{22}=\dfrac{a\dot ar^2}{c^2} \Gamma^1_{22}=-r(1-kr^2)
\Gamma^3_{23}=\dfrac{\cos\theta }{\sin\theta } \Gamma^3_{30}=\dfrac {\dot a}{a} \Gamma^3_{31}=\dfrac {1}{r} \Gamma^3_{32}=\dfrac{\cos\theta }{\sin\theta }
\Gamma^0_{33}=\dfrac{a\dot ar^2\sin^2\theta}{c^2} \Gamma^1_{33}= -(1-kr^2)r\sin^2\theta \Gamma^2_{33}=-\sin\theta \cos\theta



Luego tenemos que obtener la derivada parcial de cada uno de los símbolos de Christoffel con respecto a cada componente del sistema de referencia, las no triviales son

\partial_0\Gamma^0_{11}=\dfrac{\dot a^2+\ddot aa}{c^2(1-kr^2)} \partial_1\Gamma^0_{11}=\dfrac{a\dot a2kr}{c^2(1-kr^2)^2} \partial_0\Gamma^0_{22}=\dfrac{(\dot a^2+\ddot aa)r^2}{c^2} \partial_1\Gamma^0_{22}=\dfrac{a\dot a2r}{c^2}
\partial_0\Gamma^0_{33}=\dfrac{(\dot a^2+\ddot aa)r^2\sin^2\theta}{c^2} \partial_1\Gamma^0_{33}=\dfrac{a\dot a2r\sin^2\theta}{c^2} \partial_2\Gamma^0_{33}=\dfrac{a\dot ar^2\sin\theta\cos\theta}{c^2} \partial_0\Gamma^1_{01}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}
\partial_0\Gamma^1_{10}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2} \partial_1\Gamma^1_{11}=\dfrac{2k^2r^2}{(1-k r^2)^2}+\dfrac{k}{1-kr^2} \partial_1\Gamma^1_{22}=3kr^2-1 \partial_1\Gamma^1_{33}=(3kr^2-1)\sin^2\theta
\partial_2\Gamma^1_{33}=-(1-kr^2)2r\sin\theta\cos\theta \partial_0\Gamma^2_{02}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2} \partial_1\Gamma^2_{12}=\dfrac{-1}{r^2} \partial_0\Gamma^2_{20}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2}
\partial_1\Gamma^2_{21}=\dfrac{-1}{r^2} \partial_2\Gamma^2_{33}=\sin^2\theta-\cos^2\theta \partial_0\Gamma^3_{03}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2} \partial_1\Gamma^3_{13}=\dfrac{-1}{r^2}
\partial_2\Gamma^3_{23}=\dfrac{-1}{\sin^2\theta} \partial_0\Gamma^3_{30}=\dfrac{\ddot a}{a}-\dfrac{\dot a^2}{a^2} \partial_1\Gamma^3_{31}=\dfrac{-1}{r^2} \partial_2\Gamma^3_{32}=\dfrac{-1}{\sin^2\theta}


Así con la siguiente fórmula calculamos cada de las 256 componentes del tensor de Riemann

 R_{ijl}^{k}=\partial_i \Gamma^k_{jl}-\partial_j\Gamma^k_{il}+\Gamma^k_{im} \Gamma^m_{jl}- \Gamma...

Los resultados no triviales son:


R^1_{001}=\dfrac{\ddot a }{a} R^2_{002}=\dfrac{\ddot a }{a} R^3_{003}=\dfrac{\ddot a }{a} R^1_{010}=\dfrac{ -\ddot a }{a}
R^2_{020}=\dfrac{ -\ddot a }{a} R^3_{030}=\dfrac{ -\ddot a }{a} R^0_{101}=\dfrac{\ddot a a}{c^2(1-kr^2)} R^0_{110}=\dfrac{-\ddot a a}{c^2(1-kr^2)}
R^2_{112}=\dfrac{\dfrac{ -\dot a^2}{c^2} -k}{(1-kr^2)} R^3_{113}=\dfrac{\dfrac{-\dot a^2}{c^2} -k }{(1-kr^2)} R^2_{121}=\dfrac{\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +k}{(1-kr^2)} R^3_{131}=\dfrac{ \dfrac{\dot a^2}{c^2} +k }{(1-kr^2)}
R^0_{202}=\dfrac{\ddot a ar^2}{c^2} R^0_{212}=\dfrac{-a\dot a 2r}{c^2} R^1_{212}=(k+\dfrac{\dot a^2}{c^2})r^2 R^0_{220}=\dfrac{-\ddot a ar^2}{c^2}
R^0_{221}=\dfrac{a\dot a 2r}{c^2} R^1_{221}=(-k-\dfrac{\dot a^2}{c^2})r^2 R^3_{223}=\left(\dfrac{ -\dot a^2}{c^2} -k \right ) r^2 R^3_{232}=\left(\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +k\right ) r^2
R^0_{303}=\dfrac{\ddot a ar^2\sin^2 \theta}{c^2} R^1_{313}=\left(k+\dfrac{\dot a^2}{c^2}\right ) r^2\sin^2 \theta R^0_{323}=\dfrac{-a\dot a r^2\sin \theta \cos \theta}{c^2} R^2_{323}=\left ( \dfrac{\dot a^2}{c^2} +k \right ) r^2\sin^2 \theta
R^0_{330}=\dfrac{-\ddot a ar^2\sin^2 \theta}{c^2} R^1_{331}=\left(-k-\dfrac{\dot a^2}{c^2}\right )r^2\sin^2 \theta R^0_{332}=\dfrac{a\dot a r^2\sin \theta\cos \theta}{c^2} R^2_{332}=\left (\dfrac{-\dot a^2}{c^2} -k \left ) r^2\sin^2 \theta


Para aplicar las ecuaciones de Einstein y obtener las ecuaciones de Friedmann debe calcularse el Tensor de Ricci y el Escalar de Ricci

El tensor de Ricci surge de la contracción del tensor de Riemann, en su índice superior y el segundo inferior



 R_{ij}=R^m_{imj}= R^0_{i0j}+ R^1_{i1j}+ R^2_{i2j}+ R^3_{i3j}


Así sus componentes quedan

R_{00}=\dfrac{-3\ddot a}{a} R_{10}=0 R_{20}=0 R_{30}=0
R_{01}=0 R_{11}=\dfrac{\dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +2k}{1-kr^2} R_{21}=0 R_{31}=0
R_{02}=0 R_{12}=0 R_{22}=(\dfrac{\dot aa}{c^2} + 2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2 R_{32}=0
R_{03}=0 R_{13}=0 R_{23}=0 R_{33}=(\dfrac{\ddot aa}{c^2} +2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2\sin^2\theta


Luego el escalar surge de contraer los dos indices restantes pero como son ambos inferior no se puede hacer sumación directa , se lo debe multiplicar por la matriz inversa de la métrica para obtener la contracción.

Así

R= \dst{ [g^{uv}] \cdot [R_{uv}] =

\begin{bmatrix}\frac1{–c^2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{(1- k r^2)} {a^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac ...\cdot \begin{bmatrix} \dfrac{-3\ddot a}{a}& 0 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{\dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfra...

de aquí simplificando se obtiene

R=\dfrac 6{a^2c^2}(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 + k c^2)


El tensor de energía momento


 \dst{[T]=\begin{bmatrix} -\delta c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 &...


Así escrito esta en función del las coordenadas (t,x,y,z) para llevarlo a las coordenadas polares debemos multiplicar este tensor por su matriz de transformación [M^{-1}]^2=[g^{uv}]

Entonces el tensor en coordenadas polares queda

 \dst{[{T}']=\begin{bmatrix} + \delta c^4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac {pa^2}{1-kr^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0...

Utilizando la ecuación de Einstein

 R_{ij} - \dfrac 12 g_{ij} R+ \Lambda g_{ij} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{ij}


Obtenemos 16 ecuaciones de las cuales 12 son triviales, del las 4 restantes tres son similares osea a base de simplificaciones de una se obtienen exactamente las otras y otra diferente.

Asi las no triviales son

 R_{00} - \dfrac 12 g_{00} R+ \Lambda g_{00} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{00}


 R_{11} - \dfrac 12 g_{11} R+ \Lambda g_{11} =\dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{11}


 R_{22} - \dfrac 12 g_{22} R+ \Lambda g_{22} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{22}


 R_{33} - \dfrac 12 g_{33} R+ \Lambda g_{33} = \dfrac {8\pi G}{c^4} {T}'_{33}


reemplazando

 \dfrac{-3\ddot a}{a}-\dfrac 12 (\dfrac {6(\ddot{a}a+ \: \dot{a}^2 +k c^2)}{a^2c^2})\cdot(-c^2) +...


 \dst{\dfrac{ \dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{ \dot a^2}{c^2} +2k}{1-kr^2}- \dfrac 12 \frac{a^2}{...


 \dst{(\dfrac{\ddot aa}{c^2} + 2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k)r^2- \dfrac 12 a^2r^2 \cdot (\dfrac {6(...


 \dst{\left ((\dfrac{\ddot aa}{c^2}+2\dfrac{\dot a^2}{c^2} +2k) - \dfrac 12 & a^2 \cdot (\dfrac {...



se puede observar que las ecuaciones 2a, 2b y 2c determinan la misma relación de variables y debido a ello son solo dos las ecuaciones independientes se desprenden de este trabajo mediante la simplificación de las ecuaciones 1 y cualesquiera de las 2a , 2b, y 2c

\dst{ 8\:\pi\:G\:\delta = 3 \frac{\dot{a}^2}{a^2} + 3 \frac {k\:c^2}{a^2} - \Lambda c^2}



\dst{\frac{8\:\pi\:G\:p}{c^2} = -2 \frac{\ddot{a}}{a}-\frac{\dot{a}^2 }{a^2}-\frac{ k\:c^2}{a^2} ...

Enviar "Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann" a del.icio.us Enviar "Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann" a Google Enviar "Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann" a Yahoo! Enviar "Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann" a Digg Enviar "Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann" a Diigo Enviar "Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann" a StumbleUpon Enviar "Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann" a Gennio Enviar "Deducción matematica de las ecuaciones de Friedmann" a Menéame

Actualizado 11/01/2019 a las 03:20:22 por Richard R Richard

Categorías
La web de Física , Física , Matemáticas , Relatividad especial , Relatividad general

Comentarios

  1. Avatar de Alriga
    Muy interesante R^3, gracias por tu trabajo.
    Solo hacer notar un pequeño gazapo ortográfico, no puedes decir "símbolos christoffells" como haces varias veces, se llaman símbolos de Christoffel, con una sola "l" sin "s" final y con mayúscula, (como Ricci o Riemann), pues Christoffel es el nombre de un físico-matemático alemán https://es.wikipedia.org/wiki/Elwin_Bruno_Christoffel
    Saludos cordiales
  2. Avatar de Richard R Richard
    Hola en este hilo https://forum.lawebdefisica.com/thre...e+cosmológica
    Se le asigna un valor a la constante cosmológica pero en http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...tro/Fried.html
    Le dan un valor 3 veces mas grande, creo que para cierta expresiones divulgativas la formula de la primer ecuación aparenta no coincidir pero matemáticamente la ecuación la veo correcta voy a investigar el valor correcto de la constante, para subsanar discrepancias.

    He revisado, no está bien definido el valor que toma la constante cosmológica según diversas fuentes, pero matemáticamente encuentro bien a la segunda ecuación, la densidad de energía del vacío es \rho_{\lambda}=\dfrac{\lambda}{8\pi G} no veo cómo llegaría allí el factor del tercio que me indicaras.

    Ese factor de un tercio puede surgir de reacomodar términos en la primera ecuación, pero no aparece en la segunda, he reemplazado el valor de \dfrac{\dot a}{a} de la primera en la segunda ecuación y sale exactamente la ecuación 8 de http://mriuc.bc.uc.edu.ve/bitstream/...pdf?sequence=1 o me queda igual a la ecuación 5 de http://www.das.uchile.cl/~mhamuy/premio_nobel.pdf
    Actualizado 11/01/2019 a las 04:02:53 por Richard R Richard
  3. Avatar de Alriga
    Hola Richard, he repasado mis cálculos y resulta que había sido yo quien se había equivocado, tu ecuación:

    \dst{\frac{8\:\pi\:G\:p}{c^2} = -2 \frac{\ddot{a}}{a}-\frac{\dot{a}^2 }{a^2}-\frac{ k\:c^2}{a^2} ...

    Es correcta.

    ¡Tierra trágame! Mil perdones por la molestia

    Saludos.

Trackbacks

Trackbacks totales 0
URL de trackback: