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Deducción de la metrica de Schwarzchild

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Deducción de la Métrica de Schwardchild

La métrica de Schwardchild es el resultado de las ecuaciones de campo de Einstein que describe como es el espacio-tiempo en la cercanía de un objeto esférico con masa estático.

Voy a trabajar con las coordenadas  (t,r,\theta,\phi) designadas como (0,1,2,3) respectivamente.

Paso a aclarar alguno supuestos previamente para utilizarlo luego en el desarrollo.


  • Decir que el espacio tiempo es esfericamente simétrico equivale a decir que es invariante bajo rotaciones y tomando su imagen espejo en cada una de sus coordenadas. la métrica dará el valor tanto en r como en -r, y el mismo en \theta como en -\theta de la misma manera en \phi y -\phi
  • Decir que es un espacio tiempo estático equivale a que todos los componentes de la métrica resultante, deben ser independientes de la coordenada tiempo es decir constantes en el tiempo. Matemáticamente lo podemos expresar como \dfrac{\partial g_{uv}}{\partial t}=0 entonces concluiremos que la métrica dara el mismo valor en t que en -t
  • La solución a buscar sera de vacìo esto quiere decir que el Tensor de energía momento T_{uv} =0 en el punto donde estamos trabajando.
  • La constante cosmológica la suponemos = 0
  • Entonces el tensor de Ricci R_{uv} =0
  • Así el tensor de Einstein G_{uv} =0 =R_{uv} -\dfrac R2 g_{uv}
  • La signatura de la métrica es (-,+,+,+)


Como primer paso en la deducción intentaremos diagonalizar la métrica basándonos, en lo supuestos anteriores

Como la transformación de coordenadas desde (t,r,\theta,\phi) a (-t,r,\theta,\phi) el tiempo cambia pero se debe conservar al resto de la variables implica que cada componente g_{u0} con u \neq0 debe transformar como

g'_{u0}=g_{\mu\nu}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{u}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{...

pero como por los supuestos esperamos a la vez que
g'_{u0}=g_{u0} \text{    }u\neq 0

esto implica que
g_{u0}=0 \text{    }u\neq 0

del mismo modo lo hacemos

(t,r,\theta,\phi) a (t,-r,\theta,\phi),
(t,r,\theta,\phi) a (t,r,-\theta,\phi),
(t,r,\theta,\phi) a (t,r,\theta,-\phi),

Así
g_{uv}=0 \text{    }u\neq v

y por lo tanto la métrica tiene que obedecer a la siguiente forma:

\dd s^2=g_{00}\dd t^2+g_{11}\dd r^2+g_{22}\dd {\theta}^2+g_{33}\dd {\phi}^2

Los cuatro componentes de la métrica son independientes de la coordenada de tiempo t(por el supuesto de estáticidad).

Pero estos mismo 4 componentes pueden ser funciones del radio y seguir siendo simétricos esfericamente

de ese modo

g_{11}=A(r)
g_{00}=B(r)

Para cada radio y tiempo constante se puede definir una 2-esfera de métrica definida por

\dd l^2=r_0(\dd {\theta}^2+sin^2\theta \dd {\phi}^2)= g_{22}(\dd {\theta}^2+\dfrac{g_{33}}{g_{22}...

de aqui tenemos
g_{22}=r^2
y
g_{22}=r^2sin^2\theta

Por lo que el ansatz para la métrica ya puede escribirse como



\dd s^2=B \dd t^2+A \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2


Ahora debemos calcular el valor de A y B para tener determinada la métrica

Primero debemos hallar las derivadas de la métrica con respecto a cada componente, y utilizarlas para calcularlos símbolos de Christoffel con

\Gamma_{ij}^m=\dfrac12 g^{km}\left (\partial_i g_{jk}+\partial_j g_{ik} -\partial_k g_{ij} \right )

Los símbolos
de Christoffel no triviales son



\Gamma^0_{03}=\dfrac {B'}{2B} \Gamma^0_{30}=\dfrac {B'}{2B} \Gamma^1_{00}=-\dfrac {B'}{2A} \Gamma^1_{11}=\dfrac {A'}{2A}
\Gamma^1_{22}=-\dfrac {r}{A} \Gamma^1_{33}=-\dfrac {r \sin^2 \theta}{A} \Gamma^2_{12}=\dfrac {1}{r} \Gamma^2_{21}=\dfrac {1}{r}
\Gamma^2_{33}=-\sin \theta \cos \theta \Gamma^3_{13}=\dfrac {1}{r} \Gamma^3_{31}=\dfrac {1}{r} \Gamma^3_{23}=\cot \theta
\Gamma^3_{32}=\cot \theta




luego hay que calcular los 16 componentes del tensor de Ricci e igualarlos a cero, y también al escalar de Ricci

Entonces


\dst{\Gamma^i_{jk,i}-\Gamma^i_{ik,j}+\Gamma^i_{il}\Gamma^l_{jk}-\Gamma^i_{jl}\Gamma^l_{ik}=0}


tiene por resultado 4 ecuaciones

4A'B^2-2rB"AB+rA'B'B+rB'^2A=0

rA'B+2A^2B-2AB-rB'A=0

-2rB"AB+rA'B'B+rB'^2A-4B'AB=0

rA'B \sin^2\theta+2A^2B\sin^2\theta-2AB\sin^2\theta-rB'A\sin^2\theta=0

Las ecuaciones (2) y (4) son múltiplo una de la otra en el factor \sin^2\theta


si sumamos (1) y (3) obtenemos

A'B+B'A=0

recordando que

\dfrac {\mathrm{d} (A \cdot B)}{\mathrm{d} r }=A\dfrac {\mathrm{d} B}{\mathrm{d} r}+B\dfrac {\mathrm{d} A}{\mathrm{d} r}

cuando algo tiene su derivada iguala 0 es porque ese algo es contante así

(A \cdot B)= K

o sea
B= \dfrac 1A

reemplazando este resultado en 2 Obtenemos la siguiente ecuación diferencial

rA'-A+A^2=0

cuya solución general es

A=\dfrac 1{1+\dfrac 1{Sr}}


B=K(1+\dfrac 1{Sr})

Con S una constante real a determinar

Así la métrica toma la forma


\dd s^2=K(1+\dfrac 1{Sr}) \dd t^2+\dfrac 1{1+\dfrac 1{Sr}} \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\the...

Donde K y S deben determinarse

para hallar su valor podemos hacer la suposición que esta métrica del espacio tiempo deberá coincidir con la métrica de Minkowski cuando r \to \infty

Comparándolas

\eta_{uv}=\left ( \begin{array}{cccc} -c^2 & 0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{array} \right )

Pero así esta en representando las coordenadas (t,x,y,z) pasándola a (t,r,\theta,\phi)

nos queda

\eta'_{uv}=\left ( \begin{array}{cccc} -c^2 & 0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&r^2&0\\0&0&0&r^2\sin^2\theta \e...

osea

\dd s^2=-c^2 \dd t^2+1 \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2

Vemos que los 2 últimos términos coinciden para todo r

y que
 -c^2=K(1+\dfrac 1{Sr})

cuando r \to \infty entonces

 K=-c^2

y ya tenemos uno de los valores buscados

sabemos que la expresión de la aceleración provocada por una esfera de masa M sobre un punto ubicado a una distancia R es

\dfrac{\dd^2 r}{\dd t^2}=-\dfrac{MG}{r^2}

por otro lado aplicando los limites newtonianos podemos modificar la expresión (5) para el caso de movimientos radiales a

\dd s^2=-c^2(1+\dfrac 1{Sr})\dd t^2

luego operando

\dfrac{\dd s^2}{\dd t^2}=-c^2(1+\dfrac 1{Sr})
entonces

\dfrac{\dd s}{\dd t}=\sqrt{-c^2(1+\dfrac 1{Sr})}

en el limite newtoniano \dfrac{\dd s}{\dd t}=\dfrac{\dd r}{\dd t} por lo que derivando ambos miembros de (7)

\dfrac{\dd^2 r}{\dd t^2}=\dfrac{(\dfrac{-c^2}S)\cdot(\dfrac{-1}{r^2})\cdot \dfrac{\dd r}{\dd t}}{...

\dfrac{\dd^2 r}{\dd t^2}=\dfrac{\dfrac{c^2}{Sr^2}\cdot\sqrt{-c^2(1+\dfrac 1{Sr})} }{2\sqrt{-c^2(1...

\dfrac{\dd^2 r}{\dd t^2}=\dfrac{c^2}{2Sr^2}

igualando (8) con (6)
tenemos que

-\dfrac{MG}{r^2}=\dfrac{c^2}{2Sr^2}

donde podemos despejar el valor de S

S=\dfrac {-c^2}{2GM}

reemplazando en 1 llegamos a la ecuación definitiva de la métrica de Schwarzchild

\dd s^2=-c^2(1-\dfrac {2GM}{c^2r}) \dd t^2+\dfrac 1{1-\dfrac {2GM}{c^2r}} \dd r^2+r^2\dd {\theta}...

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