Velocidad de rotación de un objeto dentro de una galaxia.

[Richard R Richard]

Habiendo leído de un trabajo realizado para intentar diferenciar las velocidades de rotación de estrellas en el plano galáctico, tanto de la forma kepleriana habitual desarrollando el lagrangiano de una distribución de masa de estrellas, vi que se intentaba dar la explicación del aplanamiento de la curva de rotación, de un modo erróneo... de allí me surgió la idea de desarrollar el tema y ver si con los supuestos newtonianos y keplerianos, de distribuciones de masa bariónica y oscura se puede lograr de la función que grafique la famosa curva aplanada que es la evidencia más notable de la existencia de materia oscura, sea lo que sea la materia oscura.

Partimos del Lagrangiano de un objeto de masa m, en un campo gravitatorio de una galaxia que en vez de dos brazos suponemos un disco de densidad y espesor constante con el radio y además con las siguientes características

$a=$ radio del bulbo galáctico $\cong 1kpc$

$d=$ radio total de la galaxia $\cong 30kpc$

$e(r)=$espesor del disco galáctico (de sección constante en función del radio) entre $\cong 0.3Kpc-3 kpc$

$M_T=$ masa total de la galaxia$\cong \notcien{1.17}{12}M_{\sun}$

$M=$ masa bariónica de la galaxia (vía láctea $\cong \notcien{1.5}{11}M_{\sun}$ )

$M_b=$ masa bariónica del bulbo=10% $M$

$M_d=$ masa bariónica del disco=90% $M$

$M_{\star_0}=$ masa de materia oscura de la galaxia $\cong 85\% M_T \notcien{1}{12}M_{\sun}$

$\rho_0=$ densidad de masa bariónica en el bulbo $=\dfrac{3M_b}{4\pi a^3}$

$\rho_1=$ densidad de masa bariónica en los brazos $=\dfrac{M_d}{\pi (d^2-a^2)e}$

$\rho_{\star}$= densidad de masa oscura en la galaxia (más adelante se verá el cálculo)


en general se puede definir el lagrangiano , para cada parte de la galaxia un vista general

$$L=E_c-E_p=\dfrac12mv^2+\dfrac{GM_Tm}{r}+\dfrac{GM_{\star_0}m}{r}$$

pero habrá que ir analizando cómo cada parte de la galaxia bulbo, disco , halo, afectan a la rotación en función del radio la velocidad de rotación de la masa m respecto al centro galáctico se puede descomponen en velocidades radiales y tangenciales

$$v^2=\dot{r}+r^2\dot{\theta}^2$$

de preferencia prefiero expresar las velocidades lineales con la letra v, las aceleraciones lineales con a y las respectivas angulares con $\omega$ y $\alpha$ quedando

$$v^2=v_r^2+r^2\omega^2$$

reemplazando 3 en 1

$$L=\dfrac12m\left(v_r^2+r^2\omega^2\right)+\dfrac{GM_Tm}{r}+\dfrac{GM_{\star_0}m}{r}$$

aplicando la ecuación de Euler-Lagrange con respecto a las variables del sistema

$${\partial L\over\partial x^a} - {d\over dt }{\partial L\over\partial<br /> \dot{x}^a} = 0<br />$$

tenemos para el ángulo de rotación

$$\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=0$$

$$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=\dfrac{\partial L}{\partial \omega}=mr^2\omega$$

y para la distancia radial

$$\dfrac{\partial L}{\partial r}=mr\omega^2 - \dfrac{GM_Tm}{r^2}-\dfrac{GM_{\star_0} m}{r^2}$$

$$\dfrac{\partial L}{\partial v_r}=mv_r$$

reemplazando 6,7,8y9 en 5 obtenemos las siguientes igualdades

${\dfrac{\partial L}{\partial \theta} }- \dfrac{d}{ dt }\left(\dfrac{\partial L}{\partial<br /> \omega}\right)$

$0= \dfrac{d}{ dt }\left(mr^2\omega\right)$


entonces deducimos la conservación del momento angular

$mr^2\omega=cte=l$

$$\omega=\dfrac{l}{mr^2}$$

y que

${\dfrac{\partial L}{\partial r} }- \dfrac{d}{ dt }\left(\dfrac{\partial L}{\partial<br /> v_r}\right)=0$


$mr\omega^2 -\dfrac{GM_Tm}{r^2} -\dfrac{GM_{\star_0}m}{r^2} - \dfrac{d}{ dt }\left ( mv_r \right ) =0$

$mr\omega^2 -\dfrac{GM_Tm}{r^2} -\dfrac{GM_{\star_0}m}{r^2} -ma_r =0$


reordenando y quitando la masa m que aparece en todo los términos

$$r\omega^2 -\dfrac{G(M_T+M_{\star_0}}{r^2} -a_r =0$$

reemplazando la 10 en 11

$$\dfrac{l^2}{m^2r^3} -\dfrac{G(M_T+M_{\star_0}}{r^2} -a_r =0$$

sabiendo que $v_r =\dfrac{dr}{dt}$ si se multiplica la ecuación 12 por $v_r$ y se intenta dejar todos los términos expresados en derivadas temporales

$\dfrac{dr}{dt}\dfrac{l^2}{m^2r^3} -\dfrac{dr}{dt}\dfrac{G(M_T+M_{\star_0}}{r^2} -\dfrac{dr}{dt}a_r =0$


que acomodando
$-\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{l^2}{2m^2r^2}\right)+\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{G(M_T+M_{\star_0}}{r}\right)-\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{v_r^2}{2}\right)=0$


resultando
$\dfrac{d}{dt}\left(-\dfrac{l^2}{2m^2r^2}+\dfrac{G(M_T+M_{\star_0}}{r}-\dfrac{v_r^2}{2}\right)=0$


por lo que

$$-\dfrac{l^2}{2m^2r^2}+\dfrac{G(M_T+M_{\star_0}}{r}-\dfrac{v_r^2}{2}=V^2$$

esa velocidad deducida es una constante del sistema que intentaremos deducir sabiendo que lo que hasta ahora llamamos $M$ y$M_{\star_0}$ son masas asociadas al total de la galaxia cuando $r>d$ pero cuando queremos calcular velocidades en el interior de la galaxia lo que afecta gravitacionalmente al giro de la masa m es la masa de la porción de galaxia cuyo radio es menor a r y con suposiciones de simetría podemos determinar esa masa en función del radio.

$$M=M(r)=\left\{ \begin{aligned}<br /> \dfrac{4}{3} \pi r^3 \rho_0 & \, \to \, r<a \\<br /> \dfrac{4}{3} \pi a^3 \rho_0 + \rho_1 \pi (r^2-a^2)e & \, \to \, a < r <d \\<br /> \dfrac{4}{3} \pi a^3 \rho_0 + \rho_1 \pi (d^2-a^2)e & \, \to \, d < r<br /> \end{aligned} \right \}<br />$$

La masa de materia oscura para una distribución esférica (aunque es sólo un aproximación) hasta el radio r la calculamos así: de las predicciones del modelo modelo de materia oscura fría (CDM por Cold Dark Matter), la distribución de la materia oscura en el halo y toda la galaxia sigue una distribución gaussiana del tipo

$\dst\int\limits_{-\infty}^{\infty} a \ee^{- { \frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2} } }\,dx = a|c|\sqrt{2\pi}$


por las condiciones de contorno con $a=1$ , $b=0$ tenemos $c=\dfrac{M_{\star_0}}{\sqrt{2\pi}}$

de donde la masa para un determinado radio viene dada por

$$M_{\star}(r)=\dfrac{M_{\star_0}}{\sqrt{2\pi}}\dst\int\limits_{-r}^{r} \ee^{- \dfrac{\pi x^2}{ M_{\star_0}} }\,dx$$

la densidad volumétrica queda

$\rho_{\star}=\dfrac{M_{\star}(r)}{\frac43\pi r^3}$


haciendo cambio de variable $y=\dfrac{x\sqrt{\pi}}{\sqrt{M_{\star_0}}}$

Si expandimos la serie de la integral en $r = 0$ como un polinomio de Taylor (fuente):

$M_{\star}(r)=2 \dfrac{M_{\star_0}}{\sqrt{2\pi}}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\dfrac{\sqrt{M_{\star_0}}}{\sqrt{\pi}}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n \left(<br /> \dfrac{r\sqrt{\pi}}{\sqrt{M_{\star_0}}}\right )^{2n+1}}{n! (2n+1)} =$

$M_{\star}(r)= \dfrac{M_{\star_0}}{\sqrt{2\pi}}2\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\dfrac{\sqrt{M_{\star_0}}}{\sqrt{\pi}}\left (\left (r \dfrac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{M_{\star_0}}}\right )-\dfrac{\left ( \dfrac{r\sqrt{\pi}}{\sqrt{M_{\star_0}}} \right )^3}{3}+\dfrac{\left ( \dfrac{r\sqrt{\pi}}{\sqrt{M_{\star_0}}}\right )^5}{10}- \cdots \right )$

$M_{\star}(r)\cong \dfrac{M_{\star_0}}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{4}{\pi}\sqrt{M_{\star_0}} \left(\left(r\sqrt{\dfrac{\pi}{M_{\star_0}}}\right )-\dfrac{\left(r\sqrt{\dfrac{\pi}{M_{\star_0}}}\right )^3}{3}+\dfrac{\left(r\sqrt{\dfrac{\pi}{M_{\star_0}}}\right )^5}{10}-\right)<br />$

$M_{\star}(r)\cong M_{\star_0}2\sqrt 2\left( \dfrac{r}{\pi}- \dfrac{r^3}{3M_{\star_0}}+ \dfrac{r^5\pi}{10M_{\star_0}^2}\right)$


que indica que la masa de materia oscura crece muy proporcional al radio ya que los dos últimos términos son despreciables frente al primero dando

$$M_{\star}(r)\cong M_{\star_0}2\sqrt 2\dfrac{r}{\pi}\,\to\, a<r<d$$

que para un radio $r=0$ aporta masa nula

usando la ecuación 13 pero en los radio menores al radio del bulbo galáctico podemos despejar la velocidad radial y reemplazarla en 3

$\dfrac{2G(M(r)+M_{\star}(r))}{r}-2V^2=v_r^2$



se puede ver que tanto $M(r)$ como $M_{\star}(r)$ tienden a 0 cuando r tiende a cero, por lo que si en el centro de la galaxia la velocidad radial es nula entonces la constante $V^2$ también lo es...

de modo entre 0 y a la curva se aproxima a una recta ascendente, ya que la densidad de materia bariónica crece con el cubo del radio y la de materia oscura crece solo proporcional al radio esta se hace despreciable en pequeños radios

$$v_r(r)=\sqrt{\dfrac{2G(M(r)+M_{\star}(r))}{r}}<br />$$

$v_r(r)=\sqrt{\dfrac{2G(\dfrac{4}{3}\pi r^3\rho_0+M_{\star_0}2\sqrt 2\dfrac{r}{\pi})}{r}}\cong \sqrt{\dfrac{2G\dfrac{4}{3}\pi r^3\rho_0}{r}}=$

$v_r(r)=r\sqrt{\dfrac{4}{3}G\pi \rho_0}$

$$\boxed{v_r(r)=r\sqrt{G \dfrac{M_b}{ a^3}}}\,\to\, r<a$$

Ahora haremos un desarrollo similar pero para el disco galáctico, trabajos mejor fundamentados que este toman la densidad de masa constante en función del radio $\rho_1=cte$, pero tiene en cuenta que la distribución de estrellas perpendicularmente al disco tiene una distribución gaussiana, pero aquí solo aportaría ruido a la matemática medianamente compleja sin errores de cálculo apreciables solo tomaremos que es constante en el espesor $e$ de un anillo entre $a$ y $d$.

replanteando la ecuación 17 para la siguiente porción de curva


$v_r(r)=\sqrt{\dfrac{2G\left( \dfrac{4}{3}\pi a^3\rho_0+\rho_1\pi (r^2-a^2)e +M_{\star_0}2\sqrt 2 \dfrac{r}{\pi}\right )}{r}}$


usando definiciones y que $9M_b=M_d$

$v_r(r)=\sqrt{\dfrac{2GM_b}{r}+\dfrac{18GM_b (r^2-a^2)}{ (d^2-a^2)r} +\dfrac{\sqrt {32}GM_{\star_0}}{\pi}}$


desarrollando aun más
$v_r(r)=\sqrt{\dfrac{2GM_b}{r}+\dfrac{18GM_b r}{ (d^2-a^2)} -\dfrac{18GM_b a^2}{ (d^2-a^2)r} +\dfrac{\sqrt {32}GM_{\star_0}}{\pi}}$

$$\boxed{v_r(r)=\sqrt{r\dfrac{18GM_b }{ (d^2-a^2)}+ \dfrac{\sqrt {32}GM_{\star_0}}{\pi}+\dfrac{1}{r}\left(2GM_b-\dfrac{18GM_b a^2}{ (d^2-a^2)}\right)}}$$

que es una ecuación de la forma

$$v_r(r)=\sqrt{rK_1+ K_2+\dfrac{1}{r}K_3}$$

comparada con la versión kepleriana donde no se tiene en cuenta la materia oscura

$$v_r(r)=\sqrt{rK_1+\dfrac{1}{r}K_3}$$

vemos que el término $K_2$ aplana la caída de la curva de rotación elevando la velocidad por encima de la versión Kepleriana , tal cual demuestran las observaciones.

un análisis cuantitativo en función de la masa total de la galaxia $M_T =1$ y $G=1$
$K_1=\notcien{3}{-4}U/kpc\,km^2/s^2$

$K_2=8.658U\,km^2/s^2$

$K_3=0.0297U\,kpc\,km^2/s^2$


donde $U$ corrige las unidades ,
La contribución de la materia oscura a la velocidad de rotación es un orden mayor a la contribución de la materia bariónica, por lo que las curvas resultan casi planas , a partir de radio similares al del bulbo galáctico.

Como el módulo de la velocidad de rotación es casi constante, la velocidad angular del centro de la galaxia debe ser mayor que en la periferia, creando ante una inhomogeneidad en la distribución de estrella, la característica espiral...

Espero haber investigado correctamente, no haber copiado demasiados errores ajenos y contribuir a esclarecer de donde sale el aplanamiento de las curvas de rotación de las galaxias espirales.

Otra conclusión es la contribución de la materia oscura a la rotación del bulbo galáctico, por los valores que he alcanzado, no debería despreciarse, alcanzando mayores velocidades de rotación que del modo Kepleriano.

Cualquier contribución o corrección es bienvenida.

Fuentes entre otras

https://francis.naukas.com/2013/06/1...os-galacticos/

https://arxiv.org/pdf/1302.2728.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci...Euler-Lagrange

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_error

http://www.astro.ugto.mx/~rcoziol/Cu...mponentsMW.pdf

http://www.das.uchile.cl/~jose/as200...se15_2017A.pdf