La web de Física - Métodos matemáticos https://forum.lawebdefisica.com/ Como herramienta imprescindible que es, la Matemática forma parte del día a día de un físico. Naturalmente, en este foro también tienen cabida cuestiones de matemática pura. es Fri, 26 Jun 2026 14:25:52 GMT vBulletin 60 images/misc/rss.png La web de Física - Métodos matemáticos https://forum.lawebdefisica.com/ Relación entre distribución exponencial y el proceso de poisson. https://forum.lawebdefisica.com/forum/el-aula/métodos-matemáticos/probabilidad-y-estadística/368436-relación-entre-distribución-exponencial-y-el-proceso-de-poisson Thu, 18 Jun 2026 16:54:20 GMT
Deducción de la relación entre de distribución exponencial y el proceso de Poisson
Sea T el tiempo de espera hasta el siguiente evento en un proceso de Poisson con un parámetro de razón \lambda. Demostramos que T~Exp(\lambda) mostrando que la función de distribución acumulativa de T es F(t)=1-e^{-\lambda t}, que es la función de distribución acumulativa de Exp(\lambda).
Primero, si t \le 0, entonces F(t)=P(T \le t)=0. Ahora t > 0. Se comienza por calcular P(T > t). La clave es darse cuenta de que T>t, si y solo si no ocurre ningún evento durante las siguientes t unidades de tiempo. Sea X el numero de eventos que sucede en las siguiente t unidades de tiempo. Ahora T>t si y solo si X=0, por lo que P(T>t)=P(X=0).
Dado que X~Poisson(\lambda t).
P(X=0) = e^{ - \lambda t}*\frac{\lambda ^ 0}{0 !}=e^{- \lambda t}
En consecuencia, P(T>t)=e^{- \lambda t}. La función de distribución acumulativa de T es F(t)=0 para t \le 0, y para t>0
F(t)=P(T \le t)=1-P(T<t)=1-e^{- \lambda t}
Como F(t) es la función de distribución acumulativa de Exp(\lambda), se tiene que T~Exp(\lambda).
X~Poisson(\lambda) --> P(X=x) = e^{ - \lambda}*\frac{\lambda ^ x}{x !}
T~Exp(\lambda) --> P(T \le t)=1-e^{-\lambda t}

El problema es que no entiendo este enunciado:
La clave es darse cuenta de que T>t, si y solo si no ocurre ningún evento durante las siguientes t unidades de tiempo. Sea X el numero de eventos que sucede en las siguiente t unidades de tiempo. Ahora T>t si y solo si X=0, por lo que P(T>t)=P(X=0).
¿Como se llega a esa conclusión?, ¿como se logra esa conexión entre las distribuciones?

Me da la sensación de que es un apaño para conectar P(T \le t)=1-e^{- \lambda t} con P(X>0)=1-P(X=0)=1-e^{- \lambda}.

También, he visto que hacen la conexión de una distribución de poisson, P(X>0) en un intervalo de tiempo (t) con una distribución exponencial P(T \le t), porque es numéricamente igual. No niego su parecido, pero no me es suficiente para demostrar su igualdad.

Es como decir, que el trabajo (W=F*d) es lo mismo que el momento de torsión (\tau = F*d) solo porque las formulas son muy parecidas y comparten las mismas unidades.

Gracias por su atención.
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