Teoría de perturbaciones a segundo orden: ¿repulsión de infinitos niveles superiores?

[agaminon]

Un resultado bien conocido en la teoría de perturbaciones a segundo orden es la repulsión de los niveles energéticos. La corrección a un estado particular $n$ es negativa cuando proviene de los niveles $k>n$ y positiva cuando proviene de los niveles $k<n$.

Ahora, suponer que la perturbación tiene un espectro con infinitos niveles, como podría tenerlo el oscilador armónico. Para cualquier nivel de energía existen por tanto infinitos niveles de energía superiores, pero solo un número finito de niveles inferiores. Esto podría llevarnos a pensar que la contribución de estos niveles es también infinita. Por supuesto, la contribución es tanto menor cuanto mayor sea la diferencia en energía entre los niveles (son inversamente proporcionales), por lo que también podríamos plantearnos la convergencia de esta serie. ¿Qué es lo que sucede en realidad? ¿Esto último?

[carroza]

Hola.

Entiendo que consideras perturbaciones que no tienen término diaggonal. Efectivamente, en ese caso la correccion de segundo orden viene dado por el cuadrado de un elemento de matriz, dividido por un denominador de energía, y eso produce el efecto cualitativo que describes.

Para un sistema con un numero infinito de niveles, como puede ser el oscilador armónico, el efecto neto (subida o bajada de la energía) depende de las características de la interacción. No obstante, hay casos que permiten una generalización sencilla:

Un oscilador armónico al que se le añade una perturbación lineal en las coordenadas (digamos $\lambda x$) produce siempre una disminución de la energía del estado n, igual para todos los estados n, sea cual sea el signo de lambda. Esto puede verse porque un oscilador, con potencial $1/2 K x^2$, al que se le añade una perturbación $\lambda x$), corresponde, de manera exacta, a un oscilador cuya posición de equilibrio se ha desplazado, y cuyo mínimo de energía es más bajo.

Un saludo