Demostración de la formula de radiación de Planck

[Enrique1990]

Suponiendo que:

$$\frac{\partial^{2}S}{\partial U^{2}}=\frac{a}{U(U+b)}$$

encuentre

$$\rho(\nu,T)=\frac{A\nu^{3}}{e^{\frac{B\nu}{T}}-1}$$

y establezca la relación entre las constantes $a, b, A y B.$


lo que he hecho es esto:


Intregramos esta ecuacion:

$$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} U}=\int \frac{a}{U(U+b)}dU$$

$$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} U}=-\frac{a}{b}\, ln\left ( \frac{b+U}{U} \right )$$

Usamos la definicion de temperatura:

$$\frac{\partial S }{\partial U}=\frac{1}{T}$$

Sustituimos:

$$\frac{1}{T}=-\frac{a}{b}\, ln\left ( \frac{b+U}{U} \right )$$

despejamos a $U$ :

$$U=\frac{b}{e^{-\frac{b}{aT}}-1}$$

Ahora usamos la ecuacion fundamental de Planck:

$$\rho(\nu,T)=\frac{8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}U$$

Asi que la ecuacion queda de la forma:

$$\rho(\nu,T)=\frac{8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}\frac{b}{e^{-\frac{b}{aT}}-1}$$

Hasta aqui he llegado, he investigado y me dicen que debo comparar las constantes de esta ecuacion con la ley de Wien:

$$\rho(\nu,T)=\nu^{3}f(\nu/T)$$

pero nose como hacerlo, me podrian ayudar, de antemano gracias