1r ciclo Problema: Resistencia de un semianillo

[IvaanOne]

No he encontrado por el foro un hilo sobre la resolución de este ejercicio del Tipler (25.56, 5edicion), personalmente no estoy seguro de que la resolución que voy a postear sea la correcta y espero que entre todos podamos sacarlo

Dejo el enlace del ejercicio: Resistencia de un semianillo

Posible solución:

Sabiendo que la resistenica es proporcional a la superficie del anillo e inversamente proporcial al área de uno de sus extremos, entonces:

R=ρ S/A= ρ (2π b)/(b-a)t

¿Por que creo que este resultado es incorrecto? Obviamente por que si no fuese un semianillo y fuese un semicírculo con altura t, encontes; a=0 y la resistencia no dependería del radio b.

[Al2000]

Re: Problema: Resistencia de un semianillo

Según mis cuentas la resistencia de ese semianillo es

$$G = \frac {\sigma t} \pi \int _a^b \frac {dr} r = \frac {\sigma t} \pi \ln (b/a) \quad \Rightarrow \quad R = \frac {\pi \rho}{t \ln(b/a)}$$

donde $G$ es la conductancia y $\sigma$ la conductividad. La integral representa la suma de las conductancias de semianillos de radio $r$, ancho $dr$, altura $t$ y longitud $\pi r$.

Saludos,

AA

[polonio]

Re: Problema: Resistencia de un semianillo

La respuesta de Albarto es correcta.

Ten en cuenta que lo de $\displaystyle R=\frac{l}{\rho S},$ sólo es válida para resistencias rectilíneas, homogéneas y de sección uniforme. Así que toma elementos de resistencia (prácticamente rectos) o, mejor físicamente, usa la definición de resistencia: $R=\frac{V}{I}$...

[IvaanOne]

Re: Problema: Resistencia de un semianillo

Pues siento decir que no entiendo vuestro razonamiento, probaré de intentar deducir lo que habéis hecho:

usa la definición de resistencia: $R=\frac{V}{I}$...

Muy bien, a partir de aquí puedo decir que $V=E dL$

Pero ahora tendría que calcular el campo eléctrico que se produce en el interior del diferencial de longitud del semianillo, no es que sea perezoso pero creo que no voy por el buen camino.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Problema: Resistencia de un semianillo

Ligeramente mal formulado, pero si vas por el camino correcto. Se define la resistencia eléctrica de un conductor como el cociente entre la diferencia de potencial aplicada entre sus extremos y la corriente que circula por él: $R = V/I$. Pero la diferencia de potencial se puede escribir en función del campo eléctrico como $V = - \int \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l$ y la corriente se puede escribir en función de la densidad de corriente como $I = \int \boldsymbol j \boldsymbol \cdot d \boldsymbol s$. Queda entonces

$\dst R = \frac {- \int \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l}{\int \boldsymbol j \boldsymbol \cdot d \boldsymbol s}$

En el caso muy común de un conductror prismático y despreciando las irregularidades en la pequeña zona a cada extremo del conductor, la integral en el numerador se reduce a $V = E l$, mientras que el denominador se hace $I = j A$. Queda entonces

$\dst R = \frac {E l}{j A} = \rho \frac l A$

donde $\rho = E/j$ es la resistividad eléctrica del material (supuesta constante) del que está hecho el conductor.

Saludos,

Al

[electr0n]

Re: Problema: Resistencia de un semianillo

Hola.

Alberto, ¿y qué longitud es "L"? No termino de ver cómo sale de la integral si el recorrido de las líneas de campo no tiene longitud constante, dada la geometría del problema...

un saludo

[Al2000]

Re: Problema: Resistencia de un semianillo

Básicamente $l$ conincidiría con la longitud de una línea de fuerza. Si consideras, por simplificar, que el conductor es prismático (sección tranversal constante) y que el campo eléctrico, así como la densidad de corriente son uniformes a lo largo del conductor, se obtiene la conocida expresión para la resistencia. La fórmula obtenida sería válida solo para conductores de grosor cero, pero es una buena aproximación para un conductor largo y delgado. Si la forma del conductor no permite considerarlo delgado (sin cometer mucho error) o si su sección transversal es variable, entonces habrá que recurrir al cálculo integral.

Como ejemplo, si el la fórmula de la resistencia del semi-anillo ponemos $b = a + w$, siendo $w$ el ancho del anillo, podemos escribir la resistencia como

$\dst R = \frac {\pi \rho }{t \ln \frac {a+w}a}= \frac {\pi \rho }{t \ln (1+w/a)}$

Si el semianillo es delgado de modo que $\dst \frac w a \ll 1$ puede hacerse la aproximación $\dst \ln (1+w/a) \approx w/a$ y la resistencia queda

$\dst R \approx \frac {\pi \rho }{t \frac w a} = \frac {\pi \rho a}{t w} = \rho \frac l A$

Saludos,

Al

[IvaanOne]

Re: Problema: Resistencia de un semianillo

Otra manera de plantearlo sería seleccionar un diferencial de radio, de forma que tendríamos un diferencial de semianillo. De esta forma podemos definir el diferencial de resistencia como $dR= ρ L/dA$ donde $L=πr$ y $dA=t dr$

La suma de todos los $dR$ en paralelo nos da la Resistencia; de aquí viene definido la conductancia de nuestro amigo Al2000.

Gracias!