Ley de Ampere 2

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

Tan sólo tienes que aplicar la fórmula $\dst F = \frac {\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} L$ a cada uno de los lados paralelos a la corriente infinita para obtener que la fuerza neta vale

$$F = \frac {\mu_0 I I'}{2 \pi d} b - \frac {\mu_0 I I'}{2 \pi (d + a)} b = \frac {\mu_0 I I' a b}{2 \pi d (d+a)}$$

y es de atracción.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Mikestudent]

Re: Ley de Ampere 2

Si tienes que hacerlo por integración y necesitas ayuda, tan sólo dilo. El problema se puede resolver aplicando directamente la fórmula de fuerza entre corrientes paralelas

$$\frac F L = \frac {\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$$

aplicada a los lados del rectángulo paralelos a la corriente infinita y obteniendo la fuerza neta, que será de atracción. Nota que la fuerza sobre los lados perpendiculares es paralela a la corriente rectilínea y la de un lado se calcela con la del otro lado. No se si tendrías que demostrar eso.




Este es un simple problema de suma vectorial. Usa la fórmula de la fuerza entre dos corrientes para calcular la fuerza que ejercen las corrientes 1, 2 y 4 sobre la corriente 3. Toma en cuenta los sentidos de las corrientes: la corriente 1 atrae la 3 mientras que las corrientes 2 y 4 la repelen.

Una cuenta rápida me da $\dst F/L = \frac {\sqrt 2} 2 \,\frac {\mu_0 I^2}{2 \pi a}$ según la bisectriz de los ejes.

Saludos,

Al

El ejercicio #2, cómo le quedó? Será que pueda ver todo el procedimiento de su respuesta?

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

Disculpa Al, entonces la otra raiz de dos que viene ahi! es de la magnitud de los vectores unitarios verdad? pero no se si sume bien! pero a lo que llego es que la fuerza total es $F=-\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}(\hat{x}+\hat{y})$. que no seria consistente con el resultado del libro igual por el signo! Gracias de antemano!

$\dst<br /> \begin{aligned}<br /> \vec F =& \vec F_{31}+\vec F_{32}+\vec F_{34} = -\frac{\mu_0 I^2}{4 \pi a} (\hat{x} + \hat{y}) + \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi a} \hat{y} + \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi a} \hat{x} = \frac{\mu_0 I^2}{4 \pi a} [-(\hat x + \hat y) + 2 \hat y + 2 \hat x] \\<br /> =& \frac{\mu_0 I^2}{4 \pi a} {(\hat x + \hat y)}<br /> \end{aligned}<br />$

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Ley de Ampere 2

Gracias Al, no lo había visto, soy un poco malo para el álgebra, no me acordaba de que hay que dividir la diferencia de esos dos vectores, por el módulo de ellos para poder obtener la dirección y el sentido de ese vector unitario!.

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

[video=youtube;JBC1vbGASD0]...
Me imagino que \rho' esta dado por la hipotenusa del tringulo del video, si es que vez puedes video!, esperando que se haya subido a youtube, dibuje un triangulo, en el cual \rho' es la linea de color magenta, que se dezplaza en el sentido de Y y paralela al plano XZ, no sé si estoy quivocado pero no deberia ser la raiz de X^2 + z^2 la distancia de \rho'?

La raiz que mencionas aparece dos veces, una como la distancia radial y otra como la magnitud del vector (que se desea convertir en) unitario: $\dst \boldsymbol B' = \frac {\mu_0 I'}{2 \pi \rho'} \, \boldsymbol u_\theta = \frac {\mu_0 I'}{2 \pi \sqrt {x^2+z^2}} \frac {z \boldsymbol u_x - x \boldsymbol u_z} {\sqrt {x^2+z^2}} = \frac {\mu_0 I'}{2 \pi} \frac {z \boldsymbol u_x - x \boldsymbol u_z}{x^2+z^2}$

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Ley de Ampere 2

El campo que produce la corriente I' es

$$\dst \boldsymbol B' = \frac {\mu_0 I'}{2 \pi \rho'} \, \boldsymbol u_\theta = \frac {\mu_0 I'}{2 \pi} \frac {z \boldsymbol u_x - x \boldsymbol u_z}{x^2+z^2}$$

(esto es una ultima edición, estoy sin oficio, asi se mueve el triangulo, http://www.youtube.com/watch?v=Je1L4TdgtZw)

disculpa AL pero como hiciste para convertir \rho' prima en x^2 + z^2, y ese vector u theta en esa diferencia de vectores, nose pero son unitarios?

Me imagino que \rho' esta dado por la hipotenusa del tringulo del video, si es que vez puedes video!, esperando que se haya subido a youtube, dibuje un triangulo, en el cual \rho' es la linea de color magenta, que se dezplaza en el sentido de Y y paralela al plano XZ, no sé si estoy quivocado pero no deberia ser la raiz de X^2 + z^2 la distancia de \rho'?

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

Disculpa Al, entonces la otra raiz de dos que viene ahi! es de la magnitud de los vectores unitarios verdad? pero no se si sume bien! pero a lo que llego es que la fuerza total es $F=-\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}(\hat{x}+\hat{y})$. que no seria consistente con el resultado del libro igual por el signo! Gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

no me doy cuenta como sacas lo que pones entre parentesis $(\sqrt 2 a)$. Entonces Al si sumo las 3 fuerzas que obtengo no llegaria al resultado que me dan!

$\sqrt 2 a$ es la diagonal del cuadrado. Haz la suma, verás que si da.

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

Disculpa Al, pero no me doy cuenta como sacas lo que pones entre parentesis $(\sqrt 2 a)$. Entonces Al si sumo las 3 fuerzas que obtengo no llegaria al resultado que me dan!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

...
$F_{31}= -\frac{\mu_0I^2(\hat{x} + \hat{y})}{\sqrt{2}}$

$F_{32}=\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}\hat{y}$

$F_{34}=\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}\hat{x}$

segun el libro debo de llega a $F=\frac{\mu_0I^2(\hat{x}+\hat{y})}{4\pi a}$
...

Tienes un error con $F_{31}$ que debería ser

$\dst \vec F_{31}= -\frac{\mu_0 I^2}{2 \pi (\sqrt 2 \,a)} \frac {(\hat{x} + \hat{y})}{\sqrt{2}} = -\frac{\mu_0 I^2}{4 \pi a} (\hat{x} + \hat{y})$

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

HOla Al! para el 3 problema. hice el diagrama pero no se si tome bien mis vectores, tengo la duda si mis fuerza con respecto a la 3 coordenada seria:

$F_{31}= -\frac{\mu_0I^2(\hat{x} + \hat{y})}{\sqrt{2}}$

$F_{32}=\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}\hat{y}$

$F_{34}=\frac{\mu_0I^2}{2\pi a}\hat{x}$

segun el libro debo de llega a $F=\frac{\mu_0I^2(\hat{x}+\hat{y})}{4\pi a}$

Gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

HOla Al! tengo unas dudas!y para el 2 problema nose quien es L y para integrar debo tomar mis limites desde -enos infinito a mas infinito. Sera que me puedes explicar un poco mas en el 2 y 3 problema por favor! Gracias de antemano!

La L sería la longitud b de cada lado de la espira paralelo a la corriente rectilínea infinita. Permíteme un repaso de cosas que probablemente ya conoces.

A partir de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento no es difícil conseguir que la fuerza sobre un elemento de corriente $I\,d \boldsymbol l$ es

$$d \boldsymbol F = I\,d \boldsymbol l \times \boldsymbol B$$

La fuerza sobre un segmento de corriente sería

$$\boldsymbol F = I\,\int_C \left(d \boldsymbol l \times \boldsymbol B\right)$$

donde $C$ es la curva que define la corriente. Esta es la integral resuelta en la solución del problema 1. Ahora, si el campo magnético es uniforme, es decir, no depende de la posición de $d \boldsymbol l$ en $C$, puede sacarse de la integral para obtener

$$\boldsymbol F = I\, \left(\int_C d \boldsymbol l\right) \times \boldsymbol B = I\, \boldsymbol l \times \boldsymbol B$$

donde el vector $\boldsymbol l$ es el vector que une los puntos inicial y final de $C$.

Ahora considera dos corrientes rectilíneas infinitas paralelas separadas una distancia $d$. La corriente $I_1$ produce un campo magnético $\boldsymbol B_1$ que a su vez ejerce una fuerza sobre la corriente $I_2$ (y viceversa). Como las corrientes son paralelas, el campo $\boldsymbol B_1$ es constante en toda la extensión de $I_2$ y perpendicular a élla. La aplicación de (3) para conseguir la fuerza que ejerce $I_1$ sobre $I_2$ nos lleva a

$$F_{12} = I_2\,L\,B_1 = I_2\,L\,\frac {\mu_0 I_1}{2 \pi d} = \frac {\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}\,L$$

donde $L$ es la longitud de la corriente 2. Esto nos deja con que la fuerza total es infinita, ya que supusimos ambas corrientes infinitas. Por eso en el caso de corrientes rectilíneas infinitas no hablamos de la fuerza total sino de la fuerza por unidad de longitud

$$\frac F L = \frac {\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$$

Si bien el paso de dividir por $L$ no es legítimo en (4), pudimos haber partido de (1) reescrita de la forma

$$d \boldsymbol F = I\,(dl\, \boldsymbol u_T) \times \boldsymbol B$$

y calcular directamente la fuerza por unidad de longitud

$$\frac {d \boldsymbol F}{dl} = I\, \boldsymbol u_T \times \boldsymbol B$$

Bueno, en tu caso puedes aplicar (4) sin problema ya que la espira de corriente tiene dimensiones finitas. Toma en cuenta que (4) sólo la puedes usar para los lados paralelos a la corriente rectilínea, pues se asumió que $\boldsymbol B$ es constante al determinarla.

Para los lados perpendiculares a la corriente rectilínea tienes dos posibilidades: o calculas la fuerza sobre cada lado para conseguir que son iguales y opuestas, o invocas la simetría de la situación para concluir que las fuerzas son iguales y opuestas y no calculas nada. Si deseas (o tienes que) hacer el cálculo, toma

$$\boldsymbol B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi r}\,\boldsymbol u_\theta$$

$$d \boldsymbol l = \pm dr\, \boldsymbol u_r$$

y resuelve (2) (el signo positivo es para el tramo superior, el negativo para el inferior). Obtendrás que ambas fuerzas son iguales, una con sentido +Z y otra -Z.

Para el problema 3 te reitero lo que ya te dije, que el problema es simplemente una suma vectorial. Aplica (5) para obtener la fuerza por unidad de longitud que ejerce cada corriente sobre la que se encuentra en (a,a), tomando en cuenta que si las corrientes son del mismo sentido se atraen, caso contrario se repelen. Haz tu esquema y tendrás tres vectores que sumar. Hombre, el problema es el mismo que si tuvieras 4 cargas puntuales, salvando la diferencia de la ecuación para calcular la fuerza.

Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

HOla Al! tengo unas dudas!y para el 2 problema nose quien es L y para integrar debo tomar mis limites desde -enos infinito a mas infinito. Sera que me puedes explicar un poco mas en el 2 y 3 problema por favor! Gracias de antemano!

[rruisan]

Re: Ley de Ampere 2

Gracias Al! me quedo muy claro esa parte! intento las demas! y cualquier duda te pregunto!

[Al2000]

Re: Ley de Ampere 2

pero entonces enves de ser cot alhpa! no se seria este tangente para que quede como dices! para cuando el angulo es cero!. Gracias de antemano!

Creo que estás confundiendo algo, recuerda que la cotangente de cero tiende a infinito. En eso la fórmula obtenida es consistente.

Saludos,

Al

PD. Estas corrientes infinitas no hay como cogerlas En un arranque de vagancia me dió por calcular el torque que produce I' sobre I y resulta un valor infinitamente grande que tiende a poner las corrientes paralelas. Entonces tienes la situación de que si las dos corrientes forman un ángulo entre ellas se atraen con fuerza finita pero un torque infinito tiende a ponerlas paralelas, situación en la cual no hay torque pero una fuerza infinita las atrae je je je ¿Cómo te quedó el ojo?