1r ciclo Duda con el tiempo de carga del condensador

[david91]

Hola,
Estaba resolviendo ejercicios que me piden en la universidad, y ante una duda he buscado en Internet, pero aún me he liado más, en esta pagina hay un problema de carga del condensador, resumido queda:

Tenemos un circuito con resistencia R = 6.2MΏ y un condensador con capacidad C = 2.4 μ F conectados en serie con una fuente de alimentación V = 12V con resistencia 'despreciable'.
A) Constante de tiempo del circuito?
B) ¿Qué tiempo después de haber conectado la bateria, la diferencia de potencial en el capacitor es igual a 5.6 V?

La A fácil, \tau = R*C = 14.88 s
Pero la resolución de la B la veo complicada a la hora de despejar. A ver si alguien me puede echar una mano!!

Gracias.

[Al2000]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

No tiene nada de complicado. El voltaje en el condensador vale $\dst V = \mathcal E \ee^{-t/\tau}$ de donde se obtiene rápidamente que $\dst t = \ln(\mathcal E/V)\;\tau$. Si no sabes como hacer ese despeje, te sugiero plantees la duda en el foro de Álgebra.

Saludos,

Al
(desde el exilio)

[david91]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Igualmente, si miramos el resultado de esa página, salen 9.4s que es el resultado de hacer
t = $\tau * ln(1 - (V/\varepsilon ) )$
y sin embargo con la que has escrito da -11.34s, es posible que te hayas olvidado el 1 -...??

El despeje sigo sin entenderlo, se toman 'ln' a cada lado y queda
ln V = ln $\varepsilon$ * -t/$\tau$
luego: ln V/ln $\varepsilon$ = -t/$\tau$
y finalmente: ln(V/$\varepsilon$) * $(-\tau )$ = t

Lógicamente hago algo mal...

[Cat_in_a_box]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Hola david91,

Al margen de lo que te ha expuesto Al en cuanto a la resolución del ejercicio, te pongo cómo sería el despeje:

$$\dst V = \mathcal E \ee^{-\frac{t}{\tau}}$$

Podemos dividir los dos lados de la expresión entre $\mathcal E$, quedándonos:

$$\dst\frac{V}{\mathcal E}=\dst\frac{\mathcal E \ee^{-\frac{t}{\tau}}}{\mathcal E}\Longrightarrow \dst\frac{V}{\mathcal E}=\ee^{-\dst\frac{t}{\tau}}$$

Ahora, tomamos logartimos neperianos en ambos lados de la expresión, obteniendo:

$$\ln\left(\dst\frac{V}{\mathcal E}\right)=\ln\left(\ee^{-\dst\frac{t}{\tau}\right)\Longrightarrow \ln\left(\dst\frac{V}{\mathcal E}\right)=-\dst\frac{t}{\tau}\underbrace{\ln \ee}}_{1}$$

De este modo, llegas a despejar finalmente $t$:

$$t=-\tau \ln\left(\dst\frac{V}{\mathcal E}\right)\Rightarrow \boxed{t=\tau\ln\left(\dst\frac{\mathcal E}{V}\right)}$$

y finalmente: ln(V/) * = t

Lo que no has tenido en cuenta es que:

$$-\ln\left(\dst\frac{V}{\mathcal E}\right)=\ln\left(\dst\frac{\mathcal E}{V}\right)$$

Saludos,

[david91]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Entonces no iba tan perdido. Gracias por la explicación!!

El problema que tengo es que no da el resultado. Si $\varepsilon$ vale 12V y V = 5,6V el tiempo t = 11,43s y si en la pagina de la resolución no está mal, debería dar 9,4s

[Cat_in_a_box]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Hola de nuevo,

Pues por lo que he estado leyendo en la página, creo que está mal el resultado. En primer lugar, hace un cálculo de los más extraño para la constante de tiempo del circuito, pues multiplica los megaohmios por faradios, y sorprendentemente le da como resultado 15 s (ten en cuenta que para que la constante de tiempo quede en segundos la resistencia debe estar en ohmios y la capacidad en faradios o la resistencia en megaohmios y la capacidad en microfaradios).

Por otro lado, no entiendo muy bien el despeje que hace, y si cabe, aún más extraño, escribe esto $\ln(1-5.6\mathrm{V})$, me gustaría saber a mí cómo obtiene un resultado de 9.4 segundos si antes tiene que calcular $\ln(-4.6)$.

No soy un experto en este tipo de ejercicios, de hecho, lo poco que he leído de la respuesta de Al y de la página que has puesto, pero el resultado que obtengo es el mismo que al que has llegado tú:

$$\boxed{t=\tau\ln\left(\dst\frac{\mathcal E}{V}\right)=14.88\cdot \ln\left(\dst\frac{12}{5.6}\right)=11.34\mathrm{s}}$$

Saludos,

[david91]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

El problema que a mi me piden es el siguiente: Dado un circuito RC con $\varepsilon = 5V$ y una resistencia R = 1K$\Omega$ con condensador con carga inicial nula y capacidad C = 1$\mu F$¿Cuánto tiempo es necesario para que la tensión en bornes del condensador (VOUT) llegue al 99% del valor final?

Yo he hecho lo siguiente tomando como ejemplo el ejercicio publicado anteriormente:
V = 5*0,99 = 4,95V
$\tau$= R*C = $1*10^3$ * $1*10^-6$ = 0,001s

Si aplicamos la fórmula que hemos obtenido antes: t = 0,001*ln(1 - 4,95/5) = 4,6*$10^-3 s$
Y veo que es un valor demasiado pequeño, es correcto?

[Cat_in_a_box]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Pues si no te has equivocado en ningún cálculo, creo que sí que estaría bien, por lo menos llego yo al mismo resultado. Como ya te he dicho, no soy un experto en en este tipo de ejercicios, así que de todas formas, cuando venga Al, nos iluminará

Saludos,

[Al2000]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Discúlpenme ambos, por alguna razón que ignoro escribí la ecuación de descarga. En el proceso de carga la ecuación es $\dst V = \mathcal E \left ( 1 - \ee^{-t/\tau} \right )$, por lo cual $\dst t = \left[ - \ln \left(1 - \frac V {\mathcal E} \right ) \right ] \; \tau$.

Saludos,

Al
(desde el exilio)

[Cat_in_a_box]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Ahora todo encaja, muchas gracias Al, ya sea desde el exilio o dónde estés, siempre eres de gran ayuda

Saludos,

[david91]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Entonces sobre mi anterior mensaje, me podéis decir si seria correcto? Es que me despista bastante lo del 99%.
Muchas gracias por todo!

[Al2000]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

En tu problema $\dst V/\mathcal E = 0.99$ y por lo tanto $\dst t = (- \ln 0.01)\; \tau \approx 5 \tau \approx 5\;\mathrm{ms}$.

Saludos,

Al
(desde el exilio)

PD:

...
Si aplicamos la fórmula que hemos obtenido antes: t = 0,001*ln(1 - 4,95/5) = 4,6*$10^-3 s$
Y veo que es un valor demasiado pequeño, es correcto?

El cálculo que hiciste es correcto. Si el tiempo es pequeño o grande, eso es relativo. Un circuito con ese valor de la constante de tiempo sería apropiado, por ejemplo, para ver las curvas de carga/descarga en un osciloscopio. Con una constante de tiempo algo mayor, ya la imagen en pantalla se vería parpadear con la consiguiente molestia.

[inakigarber]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Buenas tardes; quiza mi respuesta no sea la mas correcta, pero voy a inentarlo. Yo he seguido el siguiente razonamiento;
[FONT=Times New Roman][/FONT]
[FONT=Calibri]A) la constante de tiempovale =RC=6.2*10^6*2.4*10^-6=14,88 segundos[/FONT]
[FONT=Times New Roman][FONT=Calibri]B) El tiempo necesariopara la descarga me sale;[/FONT]

[FONT=Calibri]Si definimos la carga de un condensador para untiempo (t)[/FONT]
Q(t)=Qf(1-e^(-t/RC))
[FONT=Calibri]donde [/FONT][FONT=Times New Roman]Qf=VC[/FONT]
dado que C permanece constante
Qf/V=Q(t)/V(t)
Qf/V=Q(t)=Qf(1-e^(-t/RC))/V(t)
si divido ambos terminos por Qf
1/V=(1-e^(-t/RC))/V(t)
sustituyendo;
1/12=(1-e(-t/14.88))/5.6
5.6/12=(1-e(-t/14.88))
0,4666=1-e(-t/14.88)
-0,533=-e(-t/14.88)
0.5333=e(-t/14.88)
Ln0.533=(-t/14.88)
-0,628=-t/14.88
0.6286=t/14.88
t=0.6286*14,88=9,353
[/FONT]

[Cat_in_a_box]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

[FONT=Times New Roman]
[FONT=Calibri]Si definimos la carga de un condensador para untiempo (t)[/FONT]
Q(t)=Qf(1-e^(-t/RC))
[FONT=Calibri]donde [/FONT][FONT=Times New Roman]Qf=VC[/FONT]
dado que C permanece constante
Qf/V=Q(t)/V(t)
Qf/V=Q(t)=Qf(1-e^(-t/RC))/V(t)
si divido ambos terminos por Qf
1/V=(1-e^(-t/RC))/V(t)
sustituyendo;
1/12=(1-e(-t/14.88))/5.6
5.6/12=(1-e(-t/14.88))
0,4666=1-e(-t/14.88)
-0,533=-e(-t/14.88)
0.5333=e(-t/14.88)
Ln0.533=(-t/14.88)
-0,628=-t/14.88
0.6286=t/14.88
t=0.6286*14,88=9,353[/FONT]

Sí, por lo que veo el resultado final es el correcto (para el primer problema que se planteó). Pero para ahorrarte cálculos y demás, no tienes más que tener en cuenta la siguiente expresión, dada para un circuito R-C con capacitor en carga:

$$q=C\mathcal{E}\left(1-\ee^{-t/RC}\right)\Rightarrow V=\mathcal{E}\left(1-\ee^{-t/RC}\right)$$

Que es justo la expresión que señaló Al en uno de sus útimos posts, y de la que despeja el tiempo, quedando:

$$\dst t = \left[ - \ln \left(1 - \frac V {\mathcal E} \right ) \right ] \; \tau=\left[ - \ln \left(1 - \dst\frac{5.6}{12} \right ) \right ] \cdot\14.88\approx \boxed{9.35\mathrm{s}}$$

Por cierto, para que se entiendan mejor tus ecuaciones, prueba a utilizar $\LaTeX$. Puedes encontrar más información aquí

Saludos,

[inakigarber]

Re: Duda con el tiempo de carga del condensador

Ante todo gracias por la respuesta;
Hace años que estudie el tema de las descargas de los condensadores en la FP (para ser mas exactos eso ocurrio el pasado milenio). Cuando vi el problema me propuse resolverlo tratando de estudiar la dascarga de un condensador. Cosa que ultimemente estoy repasando ya que me apetece recordar cosas que ya tenia olvidadas en algun lugar recondito de mi cerebro. En cuanto al LaTex prometo practicarlo y utilizarlo en adelante.
Saludos