1r ciclo Flujo provocado por una carga externa a una superficie de gauss

[NaCl]

Hola,
¿ Alguien conoce una demostración matemática de que el flujo de una carga externa atraves de una superficie de Gauss es 0 ?

[Cat_in_a_box]

Re: Flujo provocado por una carga externa a una superficie de gauss

Hola NaCl,

La ley de Gauss tan utilizada en Electromagnetismo se puede deducir del Teorema de Gauss para el Cálculo integral. También te digo que hay demostraciones geométricas que son muchísimo más visuales si no estás familiarizado con los teoremas integrales del cálculo vectorial. Formalmente, la ley de Gauss se enuncia para un volumen $W$ y su borde orientado $\partial W$ (tal que el origen (0,0,0) no pertenezca al borde orientado) de la siguiente manera:

$$\dst\iint_{\partial W} \dst\frac{\vec r\cdot\vec n}{r^3}\mathrm{d}\vec S=0$$

La igualdad (1) se da si $(0,0,0)\notin W$ es decir, para el exterior de la superficie gaussiana. En cambio, si $(0,0,0)\in W$ se cumple que:

$$\dst\iint_{\partial W} \dst\frac{\vec r\cdot\vec n}{r^3}\mathrm{d}\vec S=4\pi$$

Ese es la ley de Gauss en su forma más general (luego ya particularizas si estás en Electromagnetismo con constantes como la permitividad del vacío...)

Por lo que leo te interesa saber por qué ocurre (1) es decir, por qué el flujo a través de una superficie producido por una carga externa es cero. Esta igualdad es la más sencilla de probar (la (2) es un poquitín más difícil, pero totalmente análoga) recordando las siguientes relaciones del cálculo diferencial vectorial:

$$\vec\nabla \left(\dst\frac{1}{r}\right)=-\dst\frac{\vec r}{r^3}$$

Por otro lado:

$$\vec\nabla\cdot\dst\frac{\vec r}{r^3}=-\vec\nabla\vec\nabla\left(\dfrac{1}{r}\right)=-\nabla^2\left(\dfrac{1}{r}\right)=\Delta\left(\dfrac{1}{r}\right)= 0 ,\quad r\neq 0$$

Es decir, el laplaciano es cero. Por otro lado el teorema de Gauss de la divergencia (no ley de Gauss) nos relaciona las integrales de volumen y las de superficie del siguiente modo:

$$\iiint_ W(\vec \nabla\cdot \vec F)\mathrm{dxdydz}=\iint_{\partial W}\vec F\cdot \mathrm{d}\vec S$$

Con todo esto, y retomando nuestro caso, podemos plantear el teorema de Gauss de la siguiente manera:

$$\iint_{\partial W}\dfrac{\vec r}{r^3}\mathrm{d}\vec S=\iiint_{W}\left(\vec \nabla\cdot \dfrac{\vec r}{r^3}\right)\mathrm{dxdydz}=\boxed{0}$$

Como ves, el resultado es cero, tal y como enunciaba la ley de Gauss en (1). A primera vista parece un poco complicado, pero no es más que aplicar el teorema de la divergencia, dándose cuenta que en nuestro caso la divergencia que se calculo es justamente cero (por lo del laplaciano que calculamos en (4)) de modo que la integral de volumen es cero y así la de superficie, que nos da el flujo, también ha de serlo en virtud del teorema.

Insisto en que hay una forma más geométrica de verlo, teniendo en cuenta el concepto de ángulo sólido y dibujando un poco, seguro que en cualquier libro de Física general lo puedes encontrar. Si te interesa puedes hacer el mismo cálculo cuando el origen está en el volumen W que tomas y verás que se cumple (2). Ahí tendrías demostrada la ley de Gauss completa. Si tienes alguna duda, pregunta

Saludos,

[xXminombreXx]

Re: Flujo provocado por una carga externa a una superficie de gauss

Sí, el teorema de gauss. El flujo de un campo en una superficie cerrada es la divergencia del campo integrada al volumen que encierra la superficie. Si consideras cargas externas, estas son las únicas fuentes y por lo tanto la divergencia dentro de la superficie es 0, de modo que el flujo ha de ser cero también.

Un saludo.

Se me ha adelantado Cat.