1r ciclo fuerza entre dos barras

[cv5r20]

Dos barras iguales de longitud L están separadas por una distancia d, ambas barras tienen una densidad de carga lineal igual ¿cual es la fuerza de que una carga ejerce sobre la otra?

Calculo primero el campo eléctrico de una barra:
$\lambda=\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dx} }$
$E=k\int\frac{\mathrm{\lambda dx} }{\mathrm{d+x} }$ entre 0 y 2L
y despues multiplico por la carga de la otra barra, pero creo q esta idea esta mal por qu no me sale el resultado.

Sol: F=k$\lambda$²ln$\frac{\mathrm{(l+d)2} }{\mathrm{d(2L+d)} }$

[arivasm]

Re: fuerza entre dos barras

Tienes mal la expresión para el campo eléctrico que origina una barra: el denominador dentro de la integral debe ser el cuadrado de la distancia entre el punto de cálculo y el elemento de carga, es decir, debe ser $d^2+x^2$. Por otra parte, debes tomar en consideración la dirección del campo, con lo que no bastará manejar el módulo.

Además, la fuerza debes obtenerla integrando las fuerzas sobre los elementos de la segunda barra y no simplemente multiplicando el campo en el centro por la carga de la barra (pues la barra no es una carga puntual).

Yo lo enfocaría de esta manera. Supongamos que las barras están paralelas al eje X, que aquélla en la que hacemos el cálculo (barra 1) está en y=0, mientras que la otra (creadora del campo que nota la 1, y que llamaré barra 2) está en y=-d. Para distinguir las coordenadas x de los elementos llamaré $x_1$ a la coordenada x de los elementos de la barra 1, y $x_2$ a los de la barra 2. En ambos casos, el rango es entre 0 y L.

El vector que va desde un elemento de la barra 2 hasta otro de la 1 es $\vec r_{21}=(x_1-x_2,d)$. Por tanto, la distancia entre esos elementos será $r_{21}^2=(x_1-x_2)^2+d^2$ y el campo eléctrico que origina el elemento de barra 2 en uno dado de la 1 será

$\dst\dd\vec E=k\frac{\lambda\dd x_2}{r_{21}^3}\vec r_{21}=k\lambda\frac{\dd x_2}{[(x_1-x_2)^2+d^2]^{3/2}}(x_1-x_2,d)$

El campo eléctrico que afecta a dicho elemento será entonces

$\dst\vec E=\int\dd\vec E=k\lambda\int_0^L \frac{\dd x_2}{[(x_1-x_2)^2+d^2]^{3/2}}(x_1-x_2,d)$

La fuerza sobre la barra 1 es la suma de las fuerzas que experimentan sus elementos, es decir,

$\dst\vec F=\int\lambda\dd x_1\vec E=k\lambda^2\int_0^L \dd x_1\int_0^L \frac{\dd x_2}{[(x_1-x_2)^2+d^2]^{3/2}}(x_1-x_2,d)$

Ahora bien, sabemos que la simetría del problema obliga a que la fuerza resultante sólo tendrá componente y, por lo que el módulo será

$\dst F=k\lambda^2 d \int_0^L \dd x_1\int_0^L \frac{\dd x_2}{[(x_1-x_2)^2+d^2]^{3/2}}$

Yo encuentro que

$\dst F=2k\frac{\lambda^2}{d}\left(\sqrt{L^2+d^2}-d\right)$

- - - Actualizado - - -

Acabo de fijarme que no coincide con la respuesta que indicas. Ahora bien, si se toma el límite $L\to\infty$ la respuesta que pongo coincide con la correcta para este caso: $\dst \frac{F}{L}=2k\frac{\lambda^2}{d}$. Por otra parte, la que pones es un tanto extraña, pues en el logaritmo hay una magnitud con dimensiones de 1/longitud, cuando debería ser adimensional! ¿De dónde ha salido esa respuesta?

[cv5r20]

Re: fuerza entre dos barras

Adjunto una imagen del problema para que quede mas claro.

[arivasm]

Re: fuerza entre dos barras

Caramba! no tiene nada que ver con lo que yo había entendido! (creí que las barras estaban paralelas y separadas una distancia d). Lástima que no incluyeses el gráfico en el primer post, pues este problema es más sencillo.

De todos modos, las pegas son las mismas que te puse entonces: te falta el cuadrado en el denominador y no puedes reemplazar una de las barras por una carga puntual.

Con respecto al método, es idéntico. Así, podemos determinar el campo que crea la barra de la izquierda en los puntos de la barra de la derecha:

$\dst E(x)=k\lambda\int_0^L \frac{\dd x_1}{(x-x_1)^2}=k\lambda\frac{L}{x(x-L)}$

Una vez que se tiene eso, la fuerza sobre la segunda barra será

$\dst F=\lambda \int_{L+d}^{2L+d} E(x)\dd x=k\lambda^2\ln\frac{(L+d)^2}{d(2L+d)}$

[cv5r20]

Re: fuerza entre dos barras

Perfecto, muchas gracias.