Potencial en el vértice de un cono

[Xerrox]

Buenos días muchachos, gracias por la oportunidad ,tengo este problema del libro interacción electrica del Douglas figueroa, me pueden ayudar.
Un cono circular recto está hecho de un material aislante y tiene una carga total Q repartida uniformemente en su superficie cónica, el cono tiene una generarriz de longitud L ¿cuál es el potencial eléctrico en el punto de vértice P ? Gracias por su atención

[oscarmuinhos]

Hola Xerrox
Considera un elemento diferencial de superficie sobre esa superficie cónica cargado con $dq=\sigma dS$
Escribes el potencial creado por ese elemento diferencial tomando las coordenadas adecuadas para que la integración resulte fácil
Realizas la integración y resuelto.
La figura siguiente puede ayudarte a ver las variables que más fácilmente te permitirán hacer la integración

$dS$: elemento diferencial de superficie cargado con una carga $dq = \sigma dS$

$l$: distancia desde el elemento $dq$ al vértice

$r$: radio de la superficie cónica en el punto en el que tomas $dS$

$d\theta$: variación del ángulo $\theta$ correspondiente al arco del elemento $dS$

[oscarmuinhos]

Hola Xerox

Si no te han ayudado la figura e indicaciones anteriores, prueba a ver la superficie del cono desplegada (para el cálculo del potencial la geometría que importa es la de las distancias al vértice y estas son las mismas cuando ves la superficie del cono desplegada)
El potencial creado por un elemento diferencial de carga:

$dV=k\dfrac{dq}{l}=k\dfrac{\sigma dS}{l}$

$dS=ld\phi dl$

A continuación haces la integración doble entre los límites correspondientes y tendrás calculado el potencial

Saludos

[Xerrox]

Buenos días gracias por tu respuesta, si otra manera de hacerlo por lo que busque en internet es picando el cono en 2 y usar la ecuación del anillo.. Pero como no entendí no lo intente.. Ahora déjame intentarlo de tu forma, gracias por tu ayuda, luego tenga la respuesta la paso por aquí

[Al2000]

...
$dS=ld\phi dl$
...

Tienes un error aquí. Con referencia a tu primer dibujo, el elemento de área sería $dS = (r\,d \theta )\,dl$. La variable $r$ la puedes relacionar con $l$ haciendo semejanza de triángulos. Al final resultará que el radio desconocido $R$ de la base del cono no aparece en la respuesta final.

Si no me he equivocado en los cálculos, deberías llegar a que $\dst V = \frac Q {2 \pi \epsilon_0 L}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Hola a todos ....es posible calcular el potencial sobre un punto que esta apenas a un diferencial de distancia o bien justo sobre la carga distribuida?, he hecho el calculo y para mi el potencial se va a infinito, justo por esa razón, P no puede estar en contacto con las cargas, debería estar alejado de la distribución continua de cargas...

[oscarmuinhos]

Hola Richard
¿Como haces para tachar un párrafo?

[Richard R Richard]

Hazlo con el editor de texto tiene el botón "strike" ... selecciona lo que quieras tachar y apreta el icono a la derecha de "tex"

[oscarmuinhos]

Gracias Richard.

[oscarmuinhos]

Tienes un error aquí. Con referencia a tu primer dibujo, el elemento de área sería $dS = (r\,d \theta )\,dl$. La variable $r$ la puedes relacionar con $l$ haciendo semejanza de triángulos. Al final resultará que el radio desconocido $R$ de la base del cono no aparece en la respuesta final.
$\mathcal A \ell$

Hola
Muchas gracias $\mathcall A\ell$.
Esta ecuación para el elemento diferencial de superficie, $dS=ld\phi dl$, no se refiere al dibujo de mi primer mensaje, sino al dibujo adjunto a mi segundo mensaje (#3) en el que, queriendo facilitarle la solución a Xerox, se desarrolla la superficie del cono, y donde, naturalmente, el ángulo $d\phi$ es distinto del ángulo $d\theta$, variando desde $\phi_0=0$ hasta $\phi_1=\dfrac{2\pi R}{L}$. El resultado tendrá que ser el mismo sobre una figura u otra, pues las distancias al vértice son las mismas en una figura y otra.

Y, efectivamente, sobre esta figura también obtengo:

$V=k\sigma 2 \pi R=k 2 \pi R \dfrac{Q}{\pi RL}= \dfrac Q {2 \pi \epsilon_0 L}$

Un abrazo $\mathcall A\ell$

Saludos a todos/as

[Al2000]

Entendido. Bueno, a la hora de simplificar podrías sustituir el problema inicial por calcular el potencial en el centro de un disco de radio "L" y carga "Q" uniformemente distribuida

[oscarmuinhos]

Tienes razón...Siempre me sorprendes por tu habilidad de simplificar las cosas... Pero, esa forma de resolver con la carga "Q" uniformemente distribuida en todo un disco de radio "L" ni se me habría ocurrido. Aunque si pensé en calcular el potencial correspondiente al disco de radio "L" para después hallar la parte proporcional correspondiente al sector circular proveniente del desarrollo del cono.
Gracias por lo que mucho que enseñas, por lo mucho que todos aprendemos de ti

[Richard R Richard]

Bueno al fin llegue a las mías

la formula del potencial

$$\dst V=\int \dd V =\dfrac{1}{4\pi{\epsilon}_0}\int \frac {\dd q}{r}$$

la carga en un anillo de ancho diferencial con radio r

$$dq=2\pi r\sigma dl$$

las relaciones trigonométricas

$$\dfrac{r}{x}=\dfrac{R}{d}=\dfrac{R}{l\cos \alpha}$$

$$\tan\alpha=\dfrac{R}{d}$$

$$d^2+R^2=l^2$$

$$\sin\alpha=\dfrac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}$$

la relación entre diferenciales

$$dx=dl\cos \alpha$$

reemplazando todas en 1

$$\dst V=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_0}\int \dfrac {2\pi r\sigma \dd x}{\sqrt{x^2+r^2}\cos\alpha}=\frac{1}{4\pi{\epsilon}_0}\int\limits_{0}^{d} \dfrac {2\pi R\sigma \dd x }{d}=\dfrac{\sigma R}{2\epsilon_0}$$

calculando la carga total en el cono

$$Q=\sigma S=\sigma \pi Rl \quad \to \quad \sigma =\dfrac{Q}{\pi Rl}<br />$$

reemplazando el valor de la densidad de carga

$$\dst V=\dfrac{Q }{2\pi l\epsilon_0}$$