Otras carreras Diferencia de potencial entre línea aérea de alta tensión y tierra

[Sdk]

Estimados.

Tengo una consulta debido a que en mi análisis obtengo puntos con potencial muy elevado.

Sea un conductor cilíndrico de radio r, y con alongitud tendiendo a infinito (simplificación para nuestro análisis), una altura H del plano de tierra (que para este análisis lo consideraremos como un plano conductor infinito) y el cual posee una densidad de carga $\lambda$.

2 -


El campo eléctrico de un cilindro cargado es:

$\vec{E} (\vec{r}) = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon r} \vec{r} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon {r}^{2}} \hat{r}$

El campo es radial al cilindro, siendo E=0 en sus extremos (en el infinito). Por lo tanto el potencial es:

$V(r) = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon } ln (r)$



Según lo que he visto, para simplificar los cálculo y no entrar de lleno con la ecuación de laplace debemos utilizar le método de las imágenes.

Las consideraciones del método de las imágenes son:

1- Consideramos el hilo conductor como una carga puntual, esto es debido a que r << h

2- A una distancia -h existe una carga

Por lo tanto el valor del campo para cada punto del espacio donde z>h es:

$V(r) = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon } ln (r) + \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon } ln (-r)$

$V(x,z) = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon } ln (\sqrt{{x}^{2}+{z}^{2}}) + \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon } ln (\sqrt{{x}^{2}+{-z}^{2}})$


Si lo llevo esta a algo teórico, considerando una linea area (unifilar para simplificar por ahora) de $132 / \sqrt{3} KV$

¿Cómo obtengo el valor de $\lambda$ si se que la diferencia de potencial entre la linea y el plano es $132 / \sqrt{3} KV$ y está a una altura de 3 metros?

$132000/ \sqrt{3}= (- \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon } ln (\sqrt{{0}^{2}+{3}^{2}}) + \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon } ln (\sqrt{{0}^{2}+{-3}^{2}}) -0 V$

Eso me da infinito

[oscarmuinhos]

Hola

Estimados.

El campo eléctrico de un cilindro cargado es:

$\vec{E} (\vec{r}) = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon r} \vec{r} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon {r}^{2}} \hat{r}$

El campo es radial al cilindro, siendo E=0 en sus extremos (en el infinito). Por lo tanto el potencial es:

$V(r) = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon } ln (r)$

Si hay cargas en el infinito, como es este caso de un conductor rectilíneo infinitamente largo y uniformemente cargado, no se puede poner que $V_{\infty}=0$.
Se ha de dejar la integración como diferencia de potencial:

$V_b-V_a= -\left (\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon}ln \,(r_b) -\dfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon}ln \,(r_a) \right )$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y, en caso de interesar, tomar otra referencia como potencial nulo

Entiendo que es así

Saludos

[Sdk]

Muchas gracias estimado por la respuesta.

${V}_{a}-{V}_{b} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln (\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}})$


el potencial de $132000 / \sqrt{3} = {V}_{a}$ está en el punto (0,3) , que es el punto donde está la linea aérea de alta tensión, que por razones prácticas y debido a que su diámetro es mucho menor a la altura de 3 metros, la consideramos como un punto.

Ahora, ¿donde está el potencial V=0? Pues en el plano, es decir, en los puntos (x,0) para todo x.

Pero no puedo hacer:

$\frac{132000}{ \sqrt{3}}= \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln (\frac{3}{0})$

Por la indeterminación.

Ahora, el método que hay que implementar, supuestamente, es el método de las imágenes. Es decir, si la linea está en el punto (0,3), entonces en el punto (0,-3) existe una linea ficticia con una densidad de carga de signo opuesto, entonces:

$2 \frac{132000}{ \sqrt{3}}= \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln (\frac{3}{-3})$

Pero el logaritmo natural de un número negativo no está definido.

Así que estoy en una diyuntiva. El motivo de esto es que mediante un programa en python puedo simular los potenciales en el espacio alrededor de una linea área de alta tensión trifásica.

[Al2000]

Estás interpretando mal los términos. El valor r que aparece en el logaritmo es una distancia (la distancia al filamento), no una coordenada. Si estableces que el plano está a potencial nulo, entonces el potencial del filamento será $\dst V_{(r)} = \frac \lambda {2 \pi \epsilon_0}\, \ln \frac h r$. Para el filamento imagen es idéntico, pero con la densidad de carga negativa y una diferente distancia r'. Puedes combinar los dos potenciales usando las propiedades de los logaritmos y la variable h desaparece por completo, haciéndose cero el potencial toda vez que $r = r'$.

Por cierto, nota que hay un error en la segunda expresión de la diferencia de potencial escrita por oscarmuinhos que copiaste a tu mensaje. La diferencia de potencial debería decir $\dst V_a - V_b = \frac \lambda {2 \pi \epsilon_0} \ln \frac {r_b}{r_a}$ (o conservar el signo menos y mantener el orden del cociente de radios, al gusto).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[oscarmuinhos]

Hola Sdk

Por la indeterminación.

Ahora, el método que hay que implementar, supuestamente, es el método de las imágenes.

No soy especialista en este tipo de problemas. Harás bien, pues, es esperar otras opiniones diferentes a la mía.

Pero yo diría que estás aplicando mal el método de las imágenes. Efectivamente este método se ha de utilizar cuando tienes una carga que crea un campo (en este caso un conductor rectilíneo de corriente de longitud infinita) en presencia de un plano a potencial nulo (V=0), pero de un plano conductor. La razón de esto, es que la presencia de una carga en las proximidades del plano conductor altera la distribución de carga sobre el plano y esta alteración de la distribución de carga en el plano altera, a su vez, la distribución de carga en el conductor de corriente. Pero este no es el caso: la Tierra se comporta como un capacitor, no como un conductor.

Yo creo que en este caso, lo que tienes que hacer es calcular el campo creado por el conductor aplicando Gauss. Y luego integrando entre la superficie del conductor y la Tierra tendrás la diferencia de potencial entre el conductor y la superficie de la Tierra (a 3 m de distancia del eje del conductor) y, a mi modo de ver, esa diferencia de potencial es el potencial que te piden. ¿?
Pero lo dicho, espera a ver si algún otro o alguna otra deja su opinión

Acabo de ver al colgar esta contestación la respuesta de AI2000. Creo que coincidimos en la respuesta a tu pregunta. (con la corrección de signo que, oportunamente, hace y que a mí, al tipear, se me ha ido)

Gracias $\mathcall A\ell$

Saludos

[Sdk]

Bien, muchas gracias a ambos. Hago los cálculo y muestro el resultado del software que he realizado.

Entonces ¿no sería necesario utilizar el método imagen? Si la ecuación que describe a una línea cargada y un plano conductor infinito es: ${V}_{a}-{V}_{b} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln (\frac{h}{{r}_{a}})$

Volviendo al tema de encontrar el valor de la densidad lineal de carga:

${V}_{r}= \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln ({h}) - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln ({{r}})=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln (\frac{h}{{r}})$

Entonces para despejar $\lambda$, lo que sé es que la diferencia de potencial entre la linea y el plano es 132000 V

$\frac{132000}{\sqrt{3}} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln (\frac{h}{{r}})$

Me da 0 el logaritmo. ¿por qué? no puedo salir de ese bloqueo mental. Si sé que h=3 ¿r entonces que valor tiene?

[oscarmuinhos]

Hola Sdk
Espero que AI2000 te lo pueda explicar mejor y con mayor seguridad que yo...(que soy poco práctico en este tipo de problemas)...
Mientras tanto:
-Efectivamente si utilizas r=0, obtienes un resultado físicamente imposible. Ocurre que a distancias de igual rango que el tamaño molecular y atómico las ecuaciones del electromagnetismo dejan de ser válidas, pues la materia ya no puede considerarse continua (que es condición indispensable del cálculo diferencial con estas ecuaciones del electromagnetismo...)
-La integración para hallar el potencial no se hace desde el eje del conductor sino desde la superficie del conductor....Ese conductor tendrá un radio (grande o pequeño) ese es el radio que habrás de utilizar..
Así lo entiendo yo

Saludos

[oscarmuinhos]

Hola Sdk

A la espera de que algún otro u otra pueda corregirme....

Sobre la siguiente figura en la que el plano V=0 sería el plano de la superficie de la Tierra y $-\lambda$ sería la carga del conductor imagen:

Para asegurarnos que el potencial en el plano de la Tierra es V=0 habría que colocar un hilo de corriente idéntico a una distancia h pero con una densidad de carga negativa $-\lambda$
Sea $r_a$ el radio de cada uno de estos dos conductores de corriente:

Calculamos la diferencia de potencial debido al primer conductor en un punto P situado a una distancia r del mismo:

$V_a-V_r=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,ln\left (\dfrac{r}{r_a}\right )$

Calculamos la diferencia de potencial entre la superficie del segundo conductor y el mismo punto P anterior:

$V'_a-V'_r=\dfrac{-\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,ln\left (\dfrac{2h-r}{r_a}\right )$

Sumamos estas dos diferencias de potencial para tener el potencial total en el punto P:
$V_{(r)}=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,ln\left (\dfrac{r}{r_a}\right )-\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,ln\left (\dfrac{2h-r}{r_a}\right )$

De donde:
$V_{(r)}=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,\left (ln\left (\dfrac{r}{r_a}\right )-ln\left (\dfrac{2h-r}{r_a}\right ) \right )=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\, ln\,\left (\dfrac{r}{2h-r}\right )$

Saludos

[Sdk]

Gracias oscarmuinhos.

El problema es que el dato que yo sé es que la diferencia de potencial entre la linea y la tierra es $132000/ \sqrt{3}$. La linea la considero con radio=0 debido a que el radio es mucho menor a la distancia entre esta y la tierra, es decir, h. Y está está en el punto (0,h), la tierra está en el (x,0) para todo x.

${V}_{a} - {V}_{t} = 132000/ \sqrt{3} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln (\frac{{r}_{t}}{{r}_{a}}$

si considero que no es despreciable el radio de la linea y tomo como el eje de coornedanas el centro de la linea, el radio de la misma es 0.01 metro y la tierra está a 3 metros, entonces:

$132000/ \sqrt{3} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon} ln (\frac{3}{3-0.01}$

$\lambda= 7.42*{10}^{-7}$

Entonces ¿necesariamente tengo que considerar que la linea tiene un radio y no es un punto? no?

¿O lo que debo hacer es considerar que el potencial de la linea es $132000/ \sqrt{3}$?, es decir:

${\int}_{{r}_{a}}^{\infty} \vec{E} d\vec{r} =132000/ \sqrt{3}$

[oscarmuinhos]

Hola Sdk

Fijate en la última ecuación del mensaje anterior:

$V_{(r)}=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,\left (ln\left (\dfrac{r}{r_a}\right )-ln\left (\dfrac{2h-r}{r_a}\right ) \right )=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\, ln\,\left (\dfrac{r}{2h-r}\right )$

Al aplicar el método de las imágenes (para aplicar la condición de que V=0 en el plano de la Tierra) el radio del conductor de corriente desaparece. para calcular el potencial en un punto P, situado a una distancia r del eje del conductor rectilíneo, solo tienes la distancia r desde el eje del conductor al punto P y la distancia h desde el eje del conductor a la superficie de la Tierra.

Veo que tal vez estés entendiendo mal mi mensaje #5. En el solo quería señalar:

a) que no podías suponer $V_{infty}=0$, porque tenías cargas en en infinito, y que, por lo tanto solo te era posible calcular diferencia de potencial entre dos puntos: entre la superficie del disco y otro punto a una distancia r del eje del conductor rectilíneo;
b) que la superficie de la Tierra no era un plano cargado, -sino un capacitor-, y que por lo tanto que el potencial nulo de la Tierra en nada influía en la distribución de la carga en el conductor rectilíneo. Consecuencia, si la Tierra no altera la distribución de carga del conductor de corriente, la corriente imagen habrá que suponerla simétrica y de igual valor, pero con signo contrario, a la carga del primer conductor.

Saludos

Y bueno...a ver si hay alguien que quiera dejar su opinión....

[Sdk]

gracias

que no podías suponer , porque tenías cargas en en infinito, y que, por lo tanto solo te era posible calcular diferencia de potencial entre dos puntos: entre la superficie del disco y otro punto a una distancia r del eje del conductor rectilíneo;

¿Puedo consultarte que debido a que existen cargar en el infinito, el potencial en el infinito es infinito?

Me parece extraño ya que el potencial de una carga puntual disminuye inversamente proporcional con la distancia

$V = \frac{q}{2 \pi \varepsilon r}<br />$
y en cambio el potencial de un hilo cargado aumenta con la distancia

$V = \frac{q}{2 \pi \varepsilon } ln (\frac{R}{r})<br />$

¿por qué?

Saludos y gracias.

PD: me ha sido imposible calcular la densidad de carga lineal, quizás si considero una linea finita, mediante la capacitancia si sea posible.

[oscarmuinhos]

¿Puedo consultarte que debido a que existen cargar en el infinito, el potencial en el infinito es infinito?

Me parece extraño ya que el potencial de una carga puntual disminuye inversamente proporcional con la distancia

A ver si logro que entiendas mi opinión (y vuelvo a recordar que no estoy muy práctico en este tipo de problemas. Agradecería que algún otro o alguna otra aportara también su opinión)

Punto 1: Cuando tenemos un campo electrostático, dado que este campo es conservativo, existirá una función a la que llamamos potencial tal que

$\vec E = -\vec{\bigtriangledown} V=-\left (\dfrac{\partial V}{\partial x}\,\vec i+ \dfrac{\partial V}{\partial y}\,\vec j+\dfrac{\partial V}{\partial z}\,\vec k\right )$

Multiplicando por $d\vec r=dx\,\vec i+dy\,\vec j+dz\,\vec k$ uno y otro miembro:

$\vec E.d\vec r=-\left (\dfrac{\partial V}{\partial x}\,\vec i+ \dfrac{\partial V}{\partial y}\,\vec j+\dfrac{\partial V}{\partial z}\,\vec k\right ).\left (dx\,\vec i+dy\,\vec j+dz\,\vec k\right )=\left (\dfrac{\partial V}{\partial x}\,dx+ \dfrac{\partial V}{\partial y}\,dy+\dfrac{\partial V}{\partial z}\,dz \right )=-dV$

Integrando entre dos puntos del campo A y B:

$\displaystyle{\int_A^BdV=-\int_A^B\vec E.d\vec r}$

$V_A-V_B=\displaystyle{\int_A^B\vec E.d\vec r}$

O sea que lo que podemos hallar es la diferencia do potencial entre dos puntos, no el potencial en un punto

Punto 2: vamos a aplicar esto al campo creado por una carga puntual Q (o por una distribución esférica de carga con simetría radial, que, por el teorema de Gauss, sabemos que equivale a una carga puntual)
Sin entrar en los detalles de la integración, el resultado sería el siguiente:

$V_A-V_B=\displaystyle{\int_A^B\vec E.d\vec r=\dfrac{Q}{4\,\pi\,\varepsilon}\left (\dfrac{1}{R_A}-\dfrac{1}{R_B}\right )}$

A partir de este resultado, se define el potencial en un punto tomando un punto de referencia y asignándole un valor arbitrario de potencial.
En el caso del campo creado por una carga puntual, por razones de comodidad, se define el potencial en un punto A tomando como punto de referencia para el potencial $R_B =\infty$ al que se le asigna el valor $V_{\infty}=0$ con lo que el potencial en un punto vendrá dado por:

$V_A-V_{\infty}=V_A-0= V_A =\displaystyle{\dfrac{Q}{4\,\pi\,\varepsilon}\left (\dfrac{1}{R_A}-\dfrac{1}{\infty}\right )=\dfrac{Q}{4\,\pi\,\varepsilon}\,\dfrac{1}{R_A}}$

En resumen, que solo después de tomar un punto de referencia y asignarle un valor arbitrario de potencial se puede hablar de potencial en un punto.

Punto 3: a continuación aplicamos esto al cálculo del potencial de un punto P dentro del campo electrostático creado por un conductor rectilíneo de corriente de longitud infinita (longitud muy grande con relación a la otras distancias del problema).
De acuerdo a lo que se hizo en mensajes anteriores, la diferencia de potencial entre dos puntos A y B situados dentro de este campo vendrá dada por:

$V_A-V_B=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,ln\left (\dfrac{R_B}{R_A}\right )$

Si para definir el potencial en un punto en este caso tomamos la misma referencia anterior (V=0 en $R_B=\infty$) llegaríamos al resultado siguiente para el potencial en cualquier punto A en torno al condutor:

$V_A-0=V_A\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,ln\left (\dfrac{\infty}{R_A}\right )=\infty$

lo cual es un absurdo. Habrá que tomar pues otra referencia.

Si tomamos como referencia de potencial nulo $R_B=R_0$, el potencial en un punto A del campo será:

$V_A=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,ln\left (\dfrac{R_0}{R_A}\right )$

Recordemos que la referencia de hacer V=0 a una distancia R₀ del eje del conductor es una elección totalmente arbitraria y solo después de haber definido una referencia vamos a poder referirnos al potencial en un punto A del campo electrostático creado por dicho conductor.
(Acabo de darme cuenta que en mensajes anteriores me he equivocado de signo, por eso te estaba dando a ti el potencial en el infinito igual a infinito. Disculpas).

Potencial en $R_A=\infty$:

$V_{\infty}=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\,ln\left (\dfrac{R_0}{\infty}\right )=-\infty$

Punto 4: Potencial en un punto P situado entre el conductor y la superficie de la Tierra y a una distancia R_A del eje de un conductor rectilíneo de corriente tomando como referencia de potencial nulo la superficie de la Tierra (con respecto a la cual el conductor de corriente está a una altura h
Por lo que ya se hizo en mensajes anteriores (después de la oportuna corrección de signos):

$V_A=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\, ln\,\left (\dfrac{2h-R_A}{R_A}\right )$

Potencial en un punto P situado a una altura h+R_A desde la superficie de la Tierra y a una distancia R_A del eje de un conductor rectilíneo de corriente tomando como referencia de potencial nulo la superficie de la Tierra (con respecto a la cual el conductor de corriente está a una altura h+R_A

$V_A=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\, ln\,\left (\dfrac{2h+R_A}{R_A}\right )$

Potencial en el infinito debido a este conductor rectilíneo tomando como referencia de potencial cero la superficie de la Terra:

$V_A=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\, ln\,\left (\dfrac{2h+\infty}{\infty}\right )=]V_A=\dfrac{\lambda}{2\,\pi\,\varepsilon}\, ln\,\left (\dfrac{1}{1}\right )=0$

PD: me ha sido imposible calcular la densidad de carga lineal, quizás si considero una linea finita, mediante la capacitancia si sea posible.

Esa diferencia de potencial que utilizas no es la diferencia de potencial entre la Tierra y el conductor, sino que es la diferencia de potencial de la línea de corriente, entre bornes del generador y el punto de consumo.
La densidad de carga vendrá dada por la intensidad de corriente que circule por la línea

Así lo entiendo yo

Saludos

[Sdk]

Quise decir: ¿Puedo consultarte que debido a que existen cargas en el infinito para una hilo infinito conductor cargado, el potencial en el infinito es infinito y el potencial en el infinito de una carga puntual es cero?

Me parece extraño ya que el potencial de una carga puntual disminuye inversamente proporcional con la distancia

[JCB]

Hola a tod@s.

Después de estar repasando durante unos días el tema de campos electrostáticos, me decido a exponer mi punto de vista sobre este ejercicio. En primer lugar, al tratarse de un conductor cilíndrico de radio $R$, considero una densidad superficial de carga $(\sigma)$, en lugar de una lineal $(\lambda)$.

A partir de la ley de Gauss, obtengo el campo electrostático radial creado por el conductor cilíndrico, utilizando una superficie gaussiana exterior al cilindro, de radio $r$ y de longitud $L$:

$\dst\oint_{S}\vec{E}d\vec {S}=\dfrac{Q_i}{\epsilon_0}$,

$E2\pi rL=\dfrac{\sigma 2\pi RL}{\epsilon_0}$,

$E=\dfrac{\sigma R}{\epsilon_0r}=E(r)$.

El potencial electrostático en un punto situado a una distancia radial $r$ del conductor:

$V-V_{ref}=-\dst\int_{r_{ref}}^{r}\vec{E}d\vec {r}=\dfrac{\sigma R}{\epsilon_0}ln\dfrac{r_{ref}}{r}$,

$V=V_{ref}+\dfrac{\sigma R}{\epsilon_0}ln\dfrac{r_{ref}}{r}$.

Como el potencial de referencia , lo tenemos situado a una distancia radial $h$ del conductor,

$V=0+\dfrac{\sigma R}{\epsilon_0}ln\dfrac{h}{r}=\dfrac{\sigma R}{\epsilon_0}ln\dfrac{h}{r}=V(r)$.

Por otra parte, y como decía oscarmuinhos en su mensaje # 12, el potencial electrostático, es diferente de la diferencia de potencial en la línea de corriente.

Saludos cordiales,
JCB.