Otras carreras Dudas: Ondas electromagnéticas

[alexpglez]

Hola, tenía unas cuantas dudas conceptuales y sobre la ecuación de ondas $\nabla_{\mu} F^{\mu \nu}=J^{\nu}$.
1) La primera es, como la ecuación es lineal, la solución de la ecuación será una suma de una solución en el vacío (homogénea) y una solución particular. Ahora bien, acerca de la solución de vacío, ¿la observamos? Quiero decir, no podría ser que las condiciones iniciales implicasen que éstas ondas tuviesen amplitudes altas que pudiesemos observar movimiento de partículas cargadas en el aire, pero esto no lo observamos. Sin embargo, al contrario, históricamente se ha encontrado la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart, que no tienen en cuenta estas soluciones de vacío.

2) La ecuación de los potenciales, trabajando en coordenadas cartesianas, $F^{\mu \nu}=\partial^{\mu} A^{\nu}-\partial^{\nu} A^{\mu}$, sustituyendo en la primera ecuación (y cambiando la derivada covariante por una derivada ordinaria):

$$\partial_{\mu}( \partial^{\mu} A^{\nu}-\partial^{\nu} A^{\mu})=\partial_{\mu} \partial^{\mu} A^{\nu}-\partial^{\nu} \partial_{\mu} A^{\mu}=J^{\nu}$$

Qué fijando el Gauge $\partial_{\mu} A^{\mu}=0$

$$\partial_{\mu} \partial^{\mu} A^{\nu}=J^{\nu}$$

He escuchado habitualmente que el fijamiento del Gauge anterior es equivalente a que la divergencia de A sea 0. Sin embargo, si juego con las derivadas covariantes, no me sale ese resultado:

$$\nabla_{\mu}( \nabla^{\mu} A^{\nu}-\nabla^{\nu} A^{\mu})=\nabla_{\mu} \nabla^{\mu} A^{\nu}-\nabla_{\mu} \nabla^{\nu} A^{\mu}=J^{\nu}$$

Pero en espacios no euclídeos: $\nabla_{\mu} \nabla^{\nu} A^{\mu} \neq \nabla^{\nu} \nabla_{\mu} A^{\mu}$

3)Solución de la ecuación (en cartesianas, x y t). He intentado buscar más veces esto, pero no encuentro por internet, esperaba que me pudiéseis decir si va bien así. Primero de todo quería comentar que tengo ciertas dudas sobre la transformada de Fourier, referente a distinguir espacio y tiempo que creo que se me plantea al resolver la ecuación homogénea.

Si hacemos la transformada de fourier respecto de x y t:

$$\partial_{xx} A^{\nu}- \partial_{tt} A^{\nu}=0$$

Nos lleva a, por la propiedad de la transformada de una derivada:

$$(-k^2+\omega^2) \hat A^{\nu}(k,\omega)=0 \;\;\; \omega=\pm k$$

$$A^{\nu}(x,t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\hat A^{\nu}(k,\omega) e^{i(kx-\omega t)}dk d\omega$$

Sin embargo puesto que k y omega dependen uno del otro, creo que no podemos determinar nada de está solución. Sin embargo haciendo la transformada del espacio, y resolviendo la ecuación:

$$-k^2\hat A^{\nu}(k,t)- \partial_{tt} \hat A^{\nu}(k,t)=(-k^2+\omega^2) \hat A^{\nu}(k,t)=0 \;\;\; \omega=\pm k$$

$$A^{\nu}(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat A_1^{\nu}(k,t) e^{ik(x-t)}+\hat A_2^{\nu}(k,t)e^{ik(x+t)}dk$$

$$\hat A_1^{\nu}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat A^{\nu}(x,t) e^{-ik(x-t)}dx$$

$$\hat A_2^{\nu}(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat A^{\nu}(x,t) e^{-ik(x+t)}dx$$

Dos funciones que podemos encontrar a partir de las condiciones iniciales: A(x,0) y A'(x,0).


La solución particular creo que haciendo la transformada de Fourier con respecto a x y t:

$$(-k^2+\omega^2) \hat A^{\nu}(k,\omega)=\hat J^{\nu}(k, \omega) \;\;\; \hat A^{\nu}(k,\omega) =\frac{\hat J^{\nu}(k, \omega)}{\omega^2-k^2}$$

Esto es útil desde un punto de vista teórico y calculístico¿? Y este resultado último que nos dice¿? Tendríamos que para frecuencias de resonancia la amplitud sería máxima... ¿Cómo se interpreta esta resonancia, si interpretamos $\omega$ y $k$ como energía y momentum por la hipótesis de Planck y De Broglie, ondas creadas por partículas que viajen a la velocidad de la luz tienen amplitud infinita?

Gracias y saludos.