Fuerza de Lorentz y movimiento cicloide

[follonic]

En el 'Introduction to Electrodynamics', de Griffith(4ª ed), se incluye este ejemplo en el capitulo de magnetostática:

"Suppose, for instante, that B points in the x-direction, and E in the z direction. A positive charge is released at the origin; what path will it follow?"

El autor empieza aplicando la fuerza de Lorentz y la 2ª Ley de Newton:

$v \times B = B\dot z \vec {y} - B\dot y \vec{z}$

$F =Q ( E+v \times B) = Q(E\vec{z}+B\dot z \vec{y}-B\dot y \vec{z}) = ma = m(\ddot y \vec{y}+\ddot z \vec{z})$

Después separa $\vec{y}$ y $\vec{z}$:

$QB\dot z= m\ddot y$ y $QE-QB\dot y= m\ddot z$

Acto seguido, el autor 'for convenience', toma la ecuación de la frecuencia del cyclotron($\omega = \frac{QB}{m}$)

y, finalmente, tras diversos cáculos obtiene que la trayectoria de la particula cargada en cuestión es un cicloide, tal que así:



Pues bien, prespungo que esto es el resultado de un experimento(que no he visto en otros textos), porque, tomar 'for convenience' la formúla del ciclotrón es un artificio para llegar a una efecto físico que ya se conoce. Podrá haber otras vías para predecir matemáticamente el movimiento cicloide, pero no por esta vía. Por otra parte, hay que suponer que, habida cuenta de la inexistencia(por ahora) del monopolo magnético, el campo $B$ ha de corresponderse, en el ejemplo de Griffiths, con el sur o el note del campo magnético en cuestión. De otra forma, el planteamiento sería como el de figura que sigue, con un imán extendido y, consiguientemente, con los dos polos actuando sobre $E$:



Y, en tal caso, ¿habría cicloide?

[Al2000]

Yo no entiendo por qué usas ese tono confrontacional al plantear tus dudas, como si estuvieras enfadado con el autor del libro. Es natural que a la hora de escribir cualquier cosa desde una guía de estudio en adelante, el autor omita y refine pasos que probablemente habrá hecho en algún borrador a la hora de analizar el problema. Muchas veces, luego de hacer el trabajo de homiguita en el análisis de un problema, nos damos cuenta que si hubiésemos hecho tal o cual paso de otra manera, el resultado se obtendría de forma mas directa, sencilla y/o elegante; a la hora de transcribir el análisis seguramente el autor hará una poda y escribirá sólo lo necesario para seguir el desarrollo, quedando en el lector la tarea de hacer los pasos intermedios si le resultase necesario para comprenderlo.

Cuando se analiza este problema, enventualmente uno se encuentra con la conocida ecuación del movimiento armónico simple y conseguirá que la frecuencia angular que aparece en las funciones trigonométricas vale $\dst \frac {q B} m$ por lo cual resulta cómodo si desde el principio del análisis se define ese factor con un nombre sencillo ($\omega$, por ejemplo) y se evita el estar escribiendo repetidamente la fracción. En este punto, eso no tiene nada que ver con el ciclotrón sino que es simplemente una conveniencia para hacer el texto más fácil de escribir (y, presumiblemente, de leer).

En realidad el término aparece simplemente porque el campo magnético tiende a hacer que las partículas cargadas en movimiento sigan una trayectoria circular (como consecuencia de la fuerza de Lorentz) con velocidad angular $\dst \boldsymbol \omega = - \frac q m \boldsymbol B$.

Dicho lo anterior, permíteme hacer un par de comentarios sobre lo que escribes (y no tengo muy claro cuales son tus dudas):

--- Tu dibujo no es fiel al texto que lo acompaña. Creo que simplemente por error intercambiaste la denominación de los ejes X y Y.

--- Debido a lo anterior, estás usando un sistema de ejes izquierdo, lo cual no será ningún problema siempre que lo tomes en cuenta a la hora de hacer los productor vectoriales. Por supuesto cualquier lector probablemente se sentirá confundido o incómodo por tu elección de ejes no convencional.

--- El problema que se analiza parte de la premisa de que se tienen campos uniformes. Con un imán de barra no conseguirás lo mismo.

En general, el movimiento de una partícula cargada en una región donde existan campos eléctrico y magnético será sumamente complicado, en especial si los campos no son uniformes. Aún en este caso sencillo de campos uniformes y perpendiculares entre sí, el movimiento será probablemente una trocoide, dependiendo de la velocidad inicial de la partícula.

Te dejo los enlaces de un par de ejercicios en los que participé ya hace algún tiempo, por si te sirven de algo:

--- como a partir de una campo magnetico genero un campo electrico? (problema)
--- Ayuda problema campo magnético

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[follonic]

En efecto, he intercambiado los ejes X e Y por error.

Dicho ésto, lo que deseo saber es si el experimento del ejemplo de GRIFFITHS ha sido realizado y que, en efecto, ha salido el cicloide; presupongo que sí y que los autores, uan vez verificado el resultado del experimento, han tomado la fórmula $\omega = \frac{QB}{m}$, 'por conveniencia', conveniencia que, obviamente, está justificada.

Dejo aparte el supuesto de que, por hipótesis, el experimento no se hubiese realizado y que hubiese que demostrar que la particula cargada tomaría el 'path' del cicloide; aquí ya no valdrían referencias 'for convenience', sencillamente por que, a priori, no se tendría, en mi opinión, idea de que tipo de movimiento habría de realizar la particular cargada en cuestión.

Gracias y saludos