Potencial y campo eléctrico en una esfera conductora

[JCB]

Hola JCB quizá no notaste que la corona exterior esta cargada con la carga inversa a la esfera interna, (la que yo supuse también una cascara, pero el resultado es el mismo.)

Si usas Gauss la carga encerrada es nula y también lo sera el campo externo, y por eso su integral desde el infinito hasta la esfera tendrá resultado nulo.
por debajo hay campo positivo, y en el interior de la esfera el campo es nulo.

Quizá JuanTara9705 aclare de que valor son las cargas en cada superficie.

Hola a tod@s.

Sí me fijé sí, Richard R Richard, en esa carga –Q situada en la superficie exterior de la corona esférica de espesor despreciable, pero como el texto del enunciado solo indica una esfera conductora con carga uniforme, prescindí de ella, al considerar que podía ser un error. En todo caso, que CarlosG38 nos lo aclare.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

En el caso que $l<<r_b-r_a$ si el dipolo de carga $q$ gira, sin que su centro de masa se mueva, cosa que dudo, pero estimo velocidad de traslación nula ,el nuevo potencial de cada carga será

$V_g=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{r_x-\frac l2}-\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{r_x+\frac l2}$

el trabajo de llevar una carga negativa y una positiva hasta la misma distancia $r_x$ resulta nulo, por lo que la energía que cambia al rotar es

$E=qV_q$

esto se debe igualar a la energía cinética de rotación..,como el medio que mantiene rígidas las cargas no se especifica, supongo nula su masa, y para la masa de la carga escojo la masa de un electrón ,

Así

$E=\dfrac12 I\omega^2=\dfrac 12 (2m_E\dfrac{l^2}{2^2})\dfrac{v^2}{\dfrac{l^2}{2^2}}=m_Ev^2$

igualando energías y despejando v

$v=\sqrt{\dfrac{qQ}{m_E4\pi \varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_x-\frac l2}-\dfrac{1}{r_x+\frac l2}\right)}=\sqrt{\dfrac{qQl}{m_E\pi \varepsilon_0(4r_x^2-l^2)}}$

y en el caso que $r_x$ sea el punto medio entre las dos esferas $r_x=\dfrac{r_a+r_b}{2}$ que no se aclara en el enuciado

$v=\sqrt{\dfrac{qQl}{m_E\pi \varepsilon_0((r_a+r_b)^2-l^2)}}$

Si se le ve objeción al planteo por favor aclararlo. Gracias , Saludos

---

Edito

De esa manera se define el torque total como; $\tau = p \cdot E \cdot sin \theta$

Esto sería realmente útil o aplicable si el campo eléctrico fuese constante,pero entre las esferas el campo no es constante en dirección radial, ademas varia de de direccion cuanto mas grande $l$ ,aunque de nuevo si $l<<r_b-r_a$ y $r_x=\dfrac{r_a+r_b}{2}$ lo puedes forzar a parecerse constante y debes llegar a una expresión bastante similar a

$|\tau|=qlE\sin90 =\dfrac{ql}{\pi \varepsilon_0}\dfrac{Q}{(r_a+r_b)^2}$

[CarlosG38]

Te agradezco bastante estimado JCB.

Añado la siguiente argumentación para el desconocimiento que tenía Richard R Richard sobre la energía de rotación del par de cargas, estuve leyendo y consultando un poco y creo que se refiere a lo siguiente:

La energía de potencial eléctrico, cabe recordar como mencionó Weberger a las primeras respuestas de este foro sobre el concepto de dipolo eléctrico, resaltando para que no pase desapercibido o extraño de donde sale este concepto físico.

Entonces; Energía Potencial en un dipolo eléctrico esta relacionado con el trabajo de rotación, esto quiere decir la rotación que tendrán las cargas con respecto al centro de la longitud que los une.

$dW= \tau \cdot d \theta$ ; donde $d \theta$ es un diferencial de ángulo.

$\tau = p \cdot E \cdot sin \theta$ ;( magnitud total del torque o también llamado par de torsión generado por las fuerzas de las cargas, $qo$)

entonces sustituyendo en la fórmula de diferencial de trabajo $[dW]$, queda: $dW= -p \cdot E \cdot sin \theta d \theta$ ;(donde el signo $(-)$ es debido al par torsión que tiende a disminuir el ángulo $\theta$)

Esto deriva que: $dW=-dU$ ; donde $dU$ es un diferencial en energía potencial en un campo eléctrico.

Por tanto integrando esa igualdad nos queda: $\dst \int dU = p \cdot E \dst \int sin \theta d \theta$ (pasando las ecuaciones una del otro lado y multiplicando por -1 nos queda positivo a ambos lados de la igualdad)

Finalmente: $U=p \cdot E \dst \int sin \theta d \theta$ $\rightarrow U=-p \cdot cos \theta$ .

Nota: Quise introducir de último que significa $p$, esto es el momento dipolar eléctrico, el cual resultada rápidamente del concepto principal ya mencionado dipolo eléctrico en contacto con un campo eléctrico. (saltaré los detalles y escribiré solo las ecuaciones y los despejes correspondientes)

$\tau = Fe \cdot (\frac{d}{2}) \cdot sin \theta$ ; recordando que fuerza eléctrica es $Fe=qE$, y $\frac{d}{2}$ es la distancia de las cargas del dipolo eléctrico que interactúan en una región donde hay líneas de campo eléctrico, este caso la esfera conductora maciza.

Sin más, nos queda: $\tau = Fe \cdot (\frac{d}{2}) \cdot sin \theta \rightarrow \tau = Fe \cdot d \cdot sin \theta$

$\tau = q \cdot E \cdot d \cdot sin \theta$ ; si despejamos $q$ y $d$, esto es lo llamamos, $p=q \cdot d$ que sería una magnitud llamada momento dipolar eléctrico.

$\vec{p}$; es un vector que va desde la carga negativa $-qo$ hacia la carga positiva $+qo$.

De esa manera se define el torque total como; $\tau = p \cdot E \cdot sin \theta$

"Espero sea útil para los lectores del foro y la comunidad en general". Muchas gracias a todos.

[Richard R Richard]

Hola JCB quizá no notaste que la corona exterior esta cargada con la carga inversa a la esfera interna, (la que yo supuse también una cascara, pero el resultado es el mismo.)

Si usas Gauss la carga encerrada es nula y también lo sera el campo externo, y por eso su integral desde el infinito hasta la esfera tendrá resultado nulo.
por debajo hay campo positivo, y en el interior de la esfera el campo es nulo.

Quizá JuanTara9705 aclare de que valor son las cargas en cada superficie.

[JCB]

Hola a tod@s.

Expongo mis resultados del potencial para el apartado 1).

a) $V(r>r_b)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$, $V(r=r_b)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r_b}$

b) $V(r_a<r<r_b)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$

c) $V(0\leq r\leq r_a)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r_a}$

d) $V(r=r_b)-V(r=r_a)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}\right)$

Saludos cordiales,
JCB.

[CarlosG38]

Hola, un saludo @JCB

1. Es correcto, se trata de una esfera conductora maciza (una bola) de radio ra , rodeada de una corona esférica de espesor despreciable, y de radio rb .
2. La esfera es conductora tanto en la de radio ra como en rb.

[JCB]

Hola a tod@s.

CarlosG38, ¿ podrías aclararme la geometría de la situación ?. ¿ Es alguna de las siguientes configuraciones, o bien no es ninguna de ellas ?:

- Se trata de una esfera conductora maciza (una bola) de radio $r_a$, rodeada de una corona esférica de espesor despreciable, y de radio $r_b$. ¿ Es conductora la corona esférica ?.

- Se trata de una corona esférica conductora de radio interior $r_a$ y de radio exterior $r_b$.

Saludos cordiales,
JCB.

[CarlosG38]

Estaría más que agradecido, saludos Richard R Richard

[Richard R Richard]

Se me ocurre que la máxima variación de energía potencial ocurrirá cuando el sistema que une las dos cargas haya girado 90 grados.. Esa diferencia se convertirá en energía cinética..... Más tarde lo desarrollo. Si nadie lo hace antes

[Richard R Richard]

pero tengo entendido o mi maestro me ha explicado que se puede hallar el campo eléctrico por medio del potencial eléctrico mediante derivación o sea el proceso inverso de integración es algo como la relación que hay entre campo y potencial eléctrico, si mal no estoy en la web se dice llamar el "Gradiente del potencial eléctrico", pero para este ejercicio no tengo muy claro como aplicarlo y es por eso que pregunte en el foro.

Correcto, lo entiendo por lo que dices y por la referencia, es posible hacerlo de ese modo, pero a priori debes conocer la formula del potencial para cada distribución de cargas, ejemplo partículas puntuales en el espacio, dipolos, linea cargada, par de lineas cargadas, planos infinitos , esferas, discos, aros, etc...

En cuanto a la energía de rotación mucho mas no puedo aportar ...

[CarlosG38]

Adjunto el siguiente link donde se puede explicar algo más claro lo de la obtención del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico: https://repositoriotec.tec.ac.cr/bit...=1&isAllowed=y

Me disculpan el no citar o referenciar muy bien. Richard R Richard Weberger

[CarlosG38]

Buena noches a todos, me disculpo por no haber formulado bien la pregunta quizás fue el impulso de saber como podía resolver este ejercicio, el profe lo planteó de la siguiente manera, y espero poder explicarme mejor, aunque también tuve dudas e inconsistencias con lo que pedía el docente que se hallara.

Apartado 1). Era calcular el $V(r)$ (potencia eléctrico) para las siguientes regiones: a) $rb \leq r$, b) $ra \leq r \leq rb$, c) $0 \leq r \leq ra$, d) $\Delta V=|V(ra)-V(rb)|$

Apartado 2). Piden que a partir de los resultados en el apartado 1, calcular el $\vec{E} (r)$ (campo eléctrico) en cada una de las regiones, o sea, para a), b), c) y d) del punto anterior.

Nota: De la manera como lo planteas tú Richard R Richard tengo claro que para hallar el campo eléctrico por medio del potencial eléctrico es al contrario, primero se halla el campo eléctrico para poder hallar por integración el potencia eléctrico, en muchos textos, videotutoriales y/o explicaciones en la web lo podemos ver así, pero tengo entendido o mi maestro me ha explicado que se puede hallar el campo eléctrico por medio del potencial eléctrico mediante derivación o sea el proceso inverso de integración es algo como la relación que hay entre campo y potencial eléctrico, si mal no estoy en la web se dice llamar el "Gradiente del potencial eléctrico", pero para este ejercicio no tengo muy claro como aplicarlo y es por eso que pregunte en el foro.

Apartado 3). Me pedían calcular el torque y la energía de rotación del par de las dos cargas $+qo , -qo$. Este paso no me lo han explicado en mi curso de electromagnetismo y pues mi maestro pretendía que todos deberíamos saberlo. Y como lo dijo primero el estimado Weberger lo que piden se asemeja mucho o es el concepto de "dipolo eléctrico en un campo eléctrico" algo que estuve revisando hoy en el texto de "FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA, SERWAY-JEWETT, VOL.2, 7.edición" .

Perdonen el demasiado texto pero espero haberme explicado y aclarado un poco las cosas, y agradezco mucho la ayuda y la corrección por parte de todos.

Por último, adjunto imagen donde se ve un poco más claro la figura de las esferas concéntricas.

[Richard R Richard]

Hola CarlosG38 Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer Consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes

Una esfera conductora con carga uniforme,

Por lo que veo de tu esquema son dos esferas conductoras concéntricas, no una, seria bueno que intentes para cada problema que propongas tipear el enunciado original si fuese el caso.

No esta claro que material si lo hubiese entre medio de de las dos superficies.


Es curioso que te pidan luego de calcular el potencial calcular el campo eléctrico , cuando al menos yo toda la vida primero he calculado el campo eléctrico por Gauss , y luego por integración puedo arribar al potencial. Así que primero resuelvo 2 y luego 1.

a)Veamos fuera de la esfera , aplicando el teorema de gauss , la sumatoria de la carga encerrada es cero ...$0=+Q-Q$

b)Suponiendo que la carga -Q esta sobre la superficie externa, apenas es r menor a$r_b$ entonces el campo eléctrico sale por simetría de aplicar Gauss $E4\pi r^2=\dfrac{+Q}{\varepsilon_0}$

resultando $E=\dfrac1{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{+Q}{r^2}$

c)Cuando r=r_a si aplicamos el mismo criterio que en a) resulta $E=\dfrac1{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{+Q}{r_a^2}$

pero apenos sea menor que$r_a$ aplicamos el criterio de b) y la carga encerrada resulta nula

Sabiendo esto la diferencia de potencial entre las superficies es

$\Delta V_{ba}=V_a-V_b=-\dst \int_{r_b}^{r_a}\vec E\cdot d\vec r=\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{+Q}{r}\big\vert_{r_b}^{r_a}=\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}\right)$

tomando potencial cero en el infinito el potencial fuera de la esfera es cero, entre las dos esferas crece a medida que el radio disminuye

$V(r)=\dfrac {Q}{4\pi \varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_b}\right)$

y permanece constante e igual a $V =\dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}\right)$ en el interior de la esfera pequeña. si no he metido la pata.


la pregunta 3 es un tanto extraña ya que dependiendo del valor de $l$ respecto de los radios $r_a$ y $r_b$ se pueden tener distintos resultados.

es claro que las cargas q deben ser pequeñas para que las cargas inducidas en las superficies externas aun se consideren de densidad constante.

veamos desde los extremos de la distancia $l$ se puede subtender un angulo $\alpha$ con origen en el centro de las esferas, hasta una altura $r_x$ comun a ambos extremos formando un triangulo isosceles(nada de esto esta dicho es suposicion) así resulta lógico que si $\alpha$ es un angulo pequeño las fuerzas de atraccion y repulsion respecto de las superficies pueden considerarse paralelas , y tomar al campo eléctrico como perpendicular a $l$ entonces el torque

$\vec \tau=\vec p\times\vec E=q\vec l\times\vec E=$

$|\tau|=qlE\sin90 =\dfrac{ql}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{+Q}{r_x^2}$

pero si el ángulo es lo suficientemente grande ejemplo $\pi$ cuando $l=2r_x$ entonces no habrá torque ya que las fuerzas sobre las cargas estarán sobre la misma linea de acción.

por otro lado

Para calcular la energía, debes calcular la energía de un dipolo y listo

Eso no esta muy claro pues no es un dipolo magnético, como lo calcularías ?


Saludos

[Weberger]

Para la pregunta 3 hay que suponer que las cargas q0+ y q0- son muy pequeñas y están unidas por algo, para que puedan girar . Con ello debes calcular el torque respecto a la distancia media entre esas dos cargas. Para calcular la energía, debes calcular la energía de un dipolo y listo

[CarlosG38]

La capa de radio rb está la carga uniforme -Q, y en esa misma capa está las cargas puntuales qo+ y qo-, a una distancia L entre ellas dos, en las cuales debo hallar el torque y la energía de rotación de ese par de cargas.