1r ciclo Campo eléctrico de un cilindro cargado no uniformemente

[ghp]

Buenos días,
A la hora de realizar el apartado b) del ejercicio 2.5 del libro Fundamentos de la teoría electromagnética de John R. Reitz, cuyo enunciado es: Un cilindro circular recto de radio R y altura L se orienta a lo largo del eje z. Tiene una densidad de carga volumétrica no uniforme dada por $\rho(z)=\rho_0+\beta z$ con respecto a un origen en el centro del cilindro. Encuentre la fuerza sobre una carga puntual q colocada en el centro del cilindro, el resultado que yo he obtenido difiere del resultado que se encuentra en el libro, y no encuentro el error en mi desarrollo.

Para hacer el ejercicio he empezado con un pequeño esquema del cilindro:

Donde se puede observar que el diferencial de campo eléctrico es el que sigue:
$dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\rho(z)dV}{r^2+z^2}$.

Por simetría el campo eléctrico es nulo excepto en el eje z, de forma que el diferencial de campo en el eje z es:
$dE_z=dE\cos{\theta}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\rho(z)dV}{r^2+z^2}\frac{z}{(r^2+z^2)^{1/2}}\Rightarrow E_z=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho(z)zdV}{(r^2+z^2)^{3/2}}$

Una vez obtenemos esta integral, podemos pasar el diferencial de volumen a coordenadas cilíndricas facilitando los recintos de integración. $dV=rdrd\phi dz$, de forma que la integral de arriba queda como:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho(z)zdV}{(r^2+z^2)^{3/2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2}\int_0^R\int_0^{2\pi}\frac{\rho(z)zrd\phi drdz}{(r^2+z^2)^{3/2}}$

La cual podemos resolver, empezando por la integral del ángulo.
$\frac{1}{2\epsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2}\int_0^R\frac{\rho(z)zr drdz}{(r^2+z^2)^{3/2}}$

Aquí aplicamos un cambio de variable cambiando de paso los límites:
$u=r^2+z^2$
$du=2rdr$
$u_{max}=R^2+z^2$ (el límite por arriba)
$u_{min}=z^2$ (el límite por abajo)

$\frac{1}{4\epsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2}\int_{z^2}^{R^2+z^2}\frac{\rho(z)z dudz}{(u)^{3/2}}=\frac{1}{2\epsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2}\rho(z)z[\frac{1}{|z|}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}]$

Y ya metiendo esta integral en la calculadora de integrales (ya estaba un poco cansado de integrar ) me da el siguiente resultado:

$\frac{1}{2\epsilon_0}(\frac{L^2\beta}{4}-\beta\frac{L\sqrt{4R^2+L^2}-4\sinh^{-1}(\frac{L}{2R})R^2}{4})$

El cual reordenando y utilizando que $\sinh^{-1}(x)=\ln{(x+\sqrt{x^2+1})}$ obtenemos que el campo eléctrico en el origen es:
$E_z=\frac{\beta}{2\epsilon_0}[\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-\sqrt{\frac{L^2}{4}+R^2})+R^2\ln{(\frac{L}{2R}+\sqrt{\frac{L^2}{4R^2}+1})}]$

Mi problema viene cuando comparo el resultado con la solución del libro:
Se puede ver que coincide en todo menos en el interior del logaritmo. No se si es que me he equivocado en el planteamiento o en el desarrollo, o es que directamente no se me ocurre ninguna forma de operar algebraicamente con el interior de mi logaritmo. Muchas gracias.