Divulgación Densidad lagrangiana de campo electromagnético

[Lorentz]

Buenas a todos,

Voy a exponer mi duda a continuación. Antes de nada mencionar que tendremos en cuenta el convenio de sumación de Einstein durante todo el post.

Sabemos que las ecuaciones de Maxwell (en el vacío) dentro del marco de la Teoría de la Relatividad Especial se pueden resumir en estas dos expresiones:

$\dst \partial_{\nu} F^{\mu \nu}=\mu_0 J^{\mu}$

$\dst \partial_{\nu} G^{\mu \nu}=0$

Siendo $F^{\mu \nu}$ el tensor de campo EM:

$F^{\mu \nu}=\begin{pmatrix}0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ -\frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\ -\frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x\\-\frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0\end{pmatrix}$

Y $G^{\mu \nu}$ el tensor dual:

$G^{\mu \nu}=\begin{pmatrix}0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -\frac{E_z}{c} & \frac{E_y}{c} \\ -B_y & \frac{E_z}{c} & 0 & -\frac{E_x}{c} \\ -B_z & -\frac{E_y}{c} & \frac{E_x}{c} & 0\end{pmatrix}$

Pero también se puede ver que para las ecuaciones de Maxwell en la materia se pueden usar tensores análogos que dejarían las expresiones de arriba del siguiente modo, si no me equivoco:

$\dst \partial_{\nu} D^{\mu \nu}=J^{\mu}$

$\dst \partial_{\nu} G^{\mu \nu}=0$

Donde:

$D^{\mu \nu}=\begin{pmatrix}0 & c D_x & c D_y & c D_z \\ -c D_x & 0 & H_z & -H_y \\ -c D_y & -H_z & 0 & H_x\\-c D_z & H_y & -H_x & 0\end{pmatrix}$

Hasta aquí creo que todo está correcto, si no es así agradecería comentarios. (Creo que es necesario mencionar que no estoy usando el sistema de unidades gaussiano ni ningún otro similar, estoy empleando el SI)

El problema que tenía yo en mente es el siguiente. Cuando empecé a buscar información sobre la formulación lagrangiana de la electrodinámica clásica encontré la siguiente densidad lagrangiana:

$\dst \mathcal{L}=-\frac{1}{4 \mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}-J_{\mu}A^{\mu}$

Pero ahora bien, esta densidad es solamente para la situación del vacío no? En el caso de que queramos tratarlo de manera general (en la materia), tendremos que emplear el tensor $D$?

O se tienen en cuenta de otro modo? En wikipedia veo una expresión para la materia, pero no comprendo por qué es así.

https://en.wikipedia.org/wiki/Covari...gnetism#Matter


ACTUALIZADO:

Según he visto el tensor magnetización-polarización $\mathcal{M}$, nos permite obtener las "corrientes ligadas" que tal y como yo lo entiendo es un análogo a las corrientes de desplazamiento de la ecuación de Ampère-Maxwelll:

$\dst J_{bound}^{\nu}=\partial_{\mu} \mathcal{M}^{\mu \nu}$

Por lo que comprendo que este tensor sea necesario para describir el comportamiento electromagnético en la materia, sin embargo, ya que no lo he encontrado demostrado en ninguna parte, no sé por qué el término que hay que añadir al lagrangiano es:

$\dst \mathcal{L}_{bound}=\frac{1}{2} \mathcal{M}_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$

Al menos por lo que he entendido del enlace a Wikipedia que puse antes, es que el lagrangiano es de la forma:

$\dst \mathcal{L}=-\frac{1}{4 \mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}-J_{\mu}A^{\mu}+\frac{1}{2} \mathcal{M}_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$

Pero no me queda claro el motivo, si me pudiérais decir algún lugar donde se explique esto bien, o aclararme esta duda, os lo agradecería.

Un saludo.