Otras carreras Gráfico posición - tiempo y velocidad - tiempo de un electrón atraído por un protón

[physicsnoob]

Buenas Gente, he tenido algunos inconvenientes para solucionar este problema, donde he intentado aplicar potencial eléctrico para solucionarlo. El enunciado es el siguiente:

Un protón y un electrón se encuentran sobre el eje X separados una distancia de 2.0 metros. Inicialmente están en reposo. El protón esta fijo y el electrón se puede mover.

a.) Elaborar el gráfico de la velocidad del electrón en función del tiempo, desde X=2.0m hasta x=0.2m
b.) Elaborar el gráfico de la posición del electrón en función del tiempo, desde X=2.0m hasta X=0.2m

No he podido hallar las funciones para poder elaborar los respectivos gráficos, agradecería mucho la ayuda.

Saludos...

[Alriga]

Re: Gráfico posición - tiempo y velocidad - tiempo de un electrón atraído por un protón

Hay que calcular la "caída" de un electrón sobre un protón en movimiento rectilíneo, con ambos inicialmente en reposo. El protón se supone fijo.

Ley de Coulomb:

$F=-k\dfrac{q \cdot q}{x^2}$

Pongo signo negativo porque la fuerza es en sentido contrario a la "x" creciente

2ª Ley de Newton, siendo "m" la masa del electrón:

$F=m \ddot x$

Obtenemos

$\ddot x=-\dfrac{k \ q^2}m \dfrac 1 {x^2}$

Llamamos

$$\boxed{A=\dfrac{k \cdot q^2}m}$$

La ecuación diferencial a resolver es

$$\ddot x=-\dfrac A {x^2}$$

La aceleración es la derivada de la velocidad

$\ddot x=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dv}{dx} v$

Sustituyendo

$v \dfrac{dv}{dx}=-\dfrac A {x^2}$

Que es una ecuación diferencial de primer orden en variables separadas

$v \ dv=-\dfrac A {x^2} \ dx$

Considerando el protón fijo en x=0 y la posición inicial del electrón en $\bold{+x_0}$ con velocidad nula, integrando y despejando la velocidad:

$v=\pm \sqrt{2 A \left (\dfrac 1 x - \dfrac 1 {x_0} \right )}$

El electrón parte de la posición $+x_0$ y su velocidad es hacia las x decrecientes:

$$\boxed{v=- \ \sqrt{2 A \left (\dfrac 1 x - \dfrac 1 {x_0} \right )}}$$

Para calcular la posición:

$v=\dfrac{dx}{dt} \ \Rightarrow \ dt=\dfrac{dx} v$

$dt =\dfrac{dx}{- \sqrt{2 A \left (\dfrac 1 x - \dfrac 1 {x_0} \right )}}$

$\dst t =-\dfrac 1{\sqrt{2A}} \int \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac 1 x - \dfrac 1 {x_0}}}$

Esta integral es un poco larga, hay que hacer un par de cambios de variable, al final sale:

$$\boxed{t=\sqrt{\dfrac{x_0^3}{2 A}} \cdot \left ( \arccos \sqrt{\dfrac x{x_0}}+\sqrt{\dfrac x {x_0}-\left ( \dfrac x {x_0} \right )^2} \ \right )}$$

Para comprobar que está bien, si derivas y simplificas (es un poco largo) obtendrás el integrando

Ya está, puesto que no es posible "despejar x" en esta expresión. Para dibujar la gráfica de la posición y la velocidad entre $x_0=2$ y $x_1=0.2$, se hace una tabla dando valores a "x", la expresión (2) dará el tiempo "t" y la expresión (1) la velocidad "v"

Con los valores de la tabla, se pone "t" en abcisas y "x" y "v" en ordenadas.

Observa que aunque no haya una función explícita x=x(t) ni v=v(t), como hemos obtenido t=t(x) y también v=v(x), mediante el procedimiento que acabamos de explicar se pueden dibujar las gráficas sin problemas.

Evidentemente:

$k=9 \cdot 10^9$ en unidades SI mientras que $q=1.6022 \cdot 10^{-19}$ y $m=9.1094 \cdot 10^{-31}$ son respectivamente la carga y la masa del electrón en unidades SI.

NOTA: si en vez de la 2ª Ley de Newton y la Ley de Coulomb se usa la Energía Potencial Electrostática y la Conservación de la Energía, hay que plantear:

$$U_0=-k\dfrac{q \cdot q}{x_0}$$

$$E=\dfrac 1 2 m v^2-k\dfrac{q \cdot q}{x}$$

Al hacer $U_0=E$ se obtiene la misma expresión de la velocidad (1). Este camino es un poco más corto que Coulomb+Newton pero como se ve, no mucho más corto.

Una tabla con valores de x desde 2 hasta 0.2 en intervalos de 0.05 y los cálculos de tiempo y velocidad:

t	x	v
0	2	0
0,0395	1,95	-2,5501
0,0557	1,9	-3,6536
0,0679	1,85	-4,5347
0,0781	1,8	-5,3085
0,0869	1,75	-6,0193
0,0948	1,7	-6,6900
0,1019	1,65	-7,3347
0,1085	1,6	-7,9628
0,1145	1,55	-8,5809
0,1201	1,5	-9,1946
0,1254	1,45	-9,8082
0,1303	1,4	-10,4257
0,1350	1,35	-11,0505
0,1394	1,3	-11,6861
0,1436	1,25	-12,3358
0,1475	1,2	-13,0031
0,1513	1,15	-13,6916
0,1548	1,1	-14,4052
0,1582	1,05	-15,1482
0,1614	1	-15,9255
0,1645	0,95	-16,7427
0,1674	0,9	-17,6063
0,1702	0,85	-18,5239
0,1728	0,8	-19,5047
0,1753	0,75	-20,5597
0,1777	0,7	-21,7028
0,1799	0,65	-22,9511
0,1820	0,6	-24,3266
0,1840	0,55	-25,8580
0,1859	0,5	-27,5838
0,1876	0,45	-29,5565
0,1893	0,4	-31,8510
0,1908	0,35	-34,5781
0,1922	0,3	-37,9103
0,1934	0,25	-42,1349
0,1945	0,2	-47,7765

Ahora con los valores de la tabla, podemos hacer los gráficos x=x(t) y v=v(t)

Saludos.

NOTA FINAL:

1. Las expresiones (1) y (2) también pueden utilizarse para calcular la velocidad y el tiempo en una caída libre rectilínea por influjo de la gravedad de una masa "m" hacia una masa mucho mayor "M" inmóvil. Únicamente hay que tener en cuenta que en el caso gravitatorio la constante "A" vale:

$\boxed{A=G \cdot M}$

2. Las expresiones (1) y (2) también pueden utilizarse para calcular la velocidad y el tiempo en una caída libre rectilínea por influjo de la fuerza electrostática entre una carga grande Q fija y otra q de signo opuesto. En este caso la constante "A" valdría:

$\boxed{A=\dfrac{k \cdot q \cdot Q}{m_q}}$