1r ciclo Plano conductor infinito a pontencial 0

[har]

Hola!
Llevo bastante tiempo con un problema de electroestatica y no se muy bien por donde cogerlo. Agradeceria mucho si alguien me puede dar una idea de como resolverlo.

--- Se coloca una carga q a una distancia ''a'' de un plano conductor infinito mantenido a potencial cero. Se puede demostrar que el campo e. resultante en un punto situado frente al plano es el mismo que el que se obtiene al reemplazar el plano por una carga electrica negativa -q situado a una distacion ''-a''. Esta segunda carga se llama imagen de la primera.
a)Demostrar que el potencial del plano es cero y que el campo es perpendicular al plano.
b)Probar que la densidad de carga sobre el plano es qa/2pir^3
c)Verificar que la carga total sobre el plano es igual a -q

Muchas gracias. Saludos!

[Metaleer]

Re: Plano conductor infinito a pontencial 0

Hola.

Si supones por ejemplo que el plano a potencial 0 se encuentra sobre el plano YZ, el potencial que crea en un punto del plano la carga $+q$ será

$\displaystyle V_{q} = k \frac{q}{R_1},$

y el potencial que crea en ese mismo punto del plano la carga $-q$ será

$\displaystyle V_{-q} = - k \frac{q}{R_2}.$

Como la situación de las dos cargas es simétrica con respecto al plano, es decir, se encuentran a las mismas distancias con respecto a éste, $R_1 = R_2$, y por tanto

$\displaystyle \boxed{V_{\text{plano}}} = k \frac{q}{R_1} - k \frac{q}{R_2} = k \frac{q}{R_1} - k \frac{q}{R_1} = \boxed{0.}$

Para demostrar que el campo es perpendicular al plano, tal y como hemos situado el plano debemos demostrar que $E_y = E_z = 0$. Apartir de las dos cargas, podemos calcular el potencial creado en un punto para $x \geq 0$. Resulta ser (compruébalo, es muy fácil):

$\displaystyle V = kq \left ( \frac{1}{\sqrt{(x-a)^2 + y^2 + z^2}} - \frac{1}{\sqrt{(x + a)^2 + y^2 + z^2}} \right ).$

Recordamos ahora que $\mathbf{E} = - \nabla V$, por lo que las parciales cambiadas de signo te dará el campo electrostático para la región que nos interesa. Te invito a que compruebes que $E_y = E_z = 0$, lo cual se comprueba haciendo $x = 0$ en las tres componentes del campo; dos te van a salir , pero $\displaystyle E_x = -\frac{qa}{2 \pi \epsilon_0 (a^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$ resulta ser la única componente sobre el plano. Se sabe que en las proximidades de un conductor en equilibrio electrostático, se cumple que

$\displaystyle E_n = \frac{\sigma(x, y, z)}{\epsilon_0},$

donde $\sigma(x, y, z)$ es la densidad superficial de carga, en general variable de punto a punto, y $E_n$ es la componente normal (y única) del campo electrostático en la superficie del conductor. La demostración de esto, si no lo has visto en clase, es una aplicación de la ley de Gauss, cogiendo una superficie lo suficientemente pequeña para que pueda suponerse que la densidad superficial de la superficie que intercepta la superficie gaussiana es constante. Recuerda que no puede haber componente tangencial de campo electrostático en la superficie de un conductor (si no, las cargas en la superficie se moverían y no sería un conductor en equilibrio), y dentro no hay campo tampoco.

Juntando todo esto:

$\displaystyle E_x = \frac{\sigma(x, y, z)}{\epsilon_0} \Rightarrow \boxed{\sigma(x, y, z)} = -\frac{qa}{2 \pi \underbrace{(a^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}_{r^3}} = \boxed{-\frac{qa}{2 \pi r^3}}.$

Para demostrar que la carga total sobre el plano es igual a $-q$, sólo tienes que integrar la densidad superficial de carga a toda la superficie:

$\displaystyle \text{carga} = \iint_{\text{plano}} -\frac{qa}{2 \pi (a^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} dydz = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} -\frac{qa}{2 \pi (a^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} dydz.$

Yo esta integral la he puesto en Mathematica y en efecto da $-q$. Si la quieres hacer a mano, por su aspecto parece ser que admite un cambio a coordenadas polares.

Saludos.

[har]

Re: Plano conductor infinito a pontencial 0

Consegui hacer los apartados a y b. El c todavia no me queda claro. Mañana me lo mirare que ya es muy tarde .
Muchas gracias por la explicacion.
Saludos.

[Metaleer]

Re: Plano conductor infinito a pontencial 0

Consegui hacer los apartados a y b. El c todavia no me queda claro. Mañana me lo mirare que ya es muy tarde .
Muchas gracias por la explicacion.
Saludos.

A ver, ¿qué es lo que no entiendes del apartado c? Si tienes una densidad superficial de carga, para obtener la carga total sobre la superficie, integras la densidad superficial a toda la superficie. ¿Que le tienes miedo a la integral? No pasa nada: cambia a coordenadas polares:

$y = \rho \cos \theta,$
$z = \rho \sin \theta,$

cambio con valor absoluto de jacobiano $\rho$ y los límites, al ser todo el plano YZ el recinto de integración, se tienen que son $\rho \in [0, \infty)$ y $\theta \in [0, 2 \pi]$. Así, la integral te queda:

$<br /> \displaystyle \text{carga} = \iint_{\text{plano}} -\frac{qa}{2 \pi (a^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} dydz = \\ \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} -\frac{qa}{2 \pi (a^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} dydz = \\ \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} -\frac{qa \rho}{2 \pi (a^2 + \rho ^2)^{3/2}} d \rho d \theta = \\ - \frac{qa}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{\infty} \frac{\rho}{(a^2 + \rho ^2)^{3/2}} d \rho ,$

que se reduce a la integral simple

$\displaystyle -qa \int_{0}^{\infty} \frac{\rho}{(a^2 + \rho ^2)^{3/2}} d \rho = -qa \frac{1}{\sqrt{a^2}} = -qa \frac{1}{a} = -q,$

ya que $a \geq 0$ por ser una distancia.

Saludos.

[har]

A ver, ¿qué es lo que no entiendes del apartado c? Si tienes una densidad superficial de carga, para obtener la carga total sobre la superficie, integras la densidad superficial a toda la superficie. ¿Que le tienes miedo a la integral? No pasa nada: cambia a coordenadas polares:

Si, basicamente era miedo a la integral, jaja. Eso de pasar a cordenadas polares.....el jacobiano me suena a chino , no se lo que es! , Supongo que tarde o temprano me lo enseñaran

Saludos.

[Metaleer]

Re: Plano conductor infinito a pontencial 0

Si, basicamente era miedo a la integral, jaja. Eso de pasar a cordenadas polares.....el jacobiano me suena a chino , no se lo que es! , Supongo que tarde o temprano me lo enseñaran

Saludos.

Ah, espera, ¿no has dado integrales dobles todavía?

Es que este problema es un clásico de lo que sería la asignatura propiamente dicha de Electromagnetismo del primer ciclo, para ilustrar el método de las imágenes. A esas alturas ya se supone que has dado Cálculo Infinitesimal, Análisis Vectorial o como se llame la asignatura donde se den esas historias.

Bueno, para hacerlo con una integral simple del tirón, recordamos que estamos trabajando en el plano YZ, te fijas en que $y^2 + z^2$ es precisamente el radio al cuadrado de una circunferencia con centro en el origen: $y^2 + z^2 = R^2$. Por otra parte, el elemento diferencial de área, teniendo en cuenta que para un disco se tiene que $S = \pi R^2$, será:

$\displaystyle S = \pi R^2 \Rightarrow dS= 2 \pi R dR,$

por tanto la carga total será:

$\displaystyle dq = \sigma dS \Rightarrow \int_0^{\text{carga}} dq = \int_0^{\infty}-\frac{qa}{2 \pi (a^2 + R^2)^{3/2}} 2 \pi R dR = - q a \int_0^{\infty} \frac{R}{(a^2+R^2)^{3/2}} dR.$

¿Te suena esta integral de algún sitio? ¡Si es la misma integral simple que resulta de cambiar a polares en la integral doble! Obviamente, conduce al mismo valor de la carga...

Saludos.