Otras carreras Fluido uniformemente acelerado en plano inclinado

[nufel]

Hola,

Estaba haciendo este ejercicio, llevo varios días y no doy con la tecla aunque creo que no voy mal encaminado:

Se tiene una caja cúbica de 2m de arista, llena hasta la mitad con aceite cuya densidad es 900 kg/m3. Se somete a una aceleración de 2.45m/s2 sobre un plano inclinado 30º con la horizontal (ascendente). Calcular la presión máxima y mínima en el fondo de la caja.



Lo que he hecho:

Sé que para un determinado valor de 'y' se cumple que P₁+ \rho₁·g·z₁ = P₂+ \rho₂·g·z₂ , Donde P en la superficie sería nula (eso nos dijo el profesor, que suponíamos en el punto 2 de la figura P=0).El problema es que desconozco la altura. Para ello se me ocurre sacar la ecuación de la recta que forma la capa superior del fluido. Según mi manual esta pendiente es:

tg(\alpha)=-\frac{a_y}{g+a_z}=-\frac{-2.12}{-9.81-1.225}

El problema es que con esta pendiente no se muy bien como usarla debido a la inclinación de la caja.

¿Alguien me echa una mano? Muchas gracias!

[wanchufri]

Re: Fluido uniformemente acelerado en plano inclinado

Hola!


Usaré una de las ecuaciones de Navier-Stokes, la de la cantidad de movimiento de un fluido, en forma diferencial, y un sistema de referencia OXZ, con el eje "z" apuntando hacia arriba,el eje "x" horizontal, y origen en el punto 1!

[FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∂v/[/FONT][FONT=arial]∂t + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇v = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·fm + [/FONT][FONT=arial]∇·[/FONT][FONT=arial]τ'

Donde:
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]ρ = [/FONT][FONT=arial]ρ(x,z,t) =[/FONT][FONT=arial] densidad del fluido
[/FONT][FONT=arial]v = v[/FONT][FONT=arial](x,z,t) =[/FONT][FONT=arial] velocidad del fluido[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]p = p[/FONT][FONT=arial](x,z,t) =[/FONT][FONT=arial]presión del fluido
[/FONT][FONT=arial]fm = fuerzas por unidad de masa (aceleraciones) a las que está sometido el fluido
[/FONT][FONT=arial]τ' = Tensor de esfuerzos viscosos

Supondré que la caja lleva acelerándose un tiempo suficientemente grande como para que el fluido en el interior esté quieto, dándose la condición de fluidostática.
En fluidostática, la velocidad de todos los puntos del fluido es nula, es decir:

v(x,z,t) = 0 [/FONT][FONT=arial]∀(x,z,t)

La ecuación, con la condición de velocidad constante y nula se simplifica a:

[/FONT][FONT=arial]0 = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·fm

El fluido se encuentra sometido a una fuerza que lo acelera, cuya aceleración será:

a·(cos[/FONT][FONT=arial]φ·i + sen[/FONT][FONT=arial]φ·k)
[/FONT][FONT=arial]
y la aceleración de la gravedad:

-g·k

Por tanto:

[/FONT][FONT=arial]0 = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·([/FONT][FONT=arial]a·cos[/FONT][FONT=arial]φ·i + (a·[/FONT][FONT=arial]sen[/FONT][FONT=arial]φ - g)·k)
[/FONT][FONT=arial]
Como la fuerza másica total que actúa es [/FONT]constante[FONT=arial], su rotacional será nulo y podrá asegurarse que deriva de un potencial:

fm = -[/FONT][FONT=arial]∇U
[/FONT][FONT=arial]
Por tanto:

[/FONT][FONT=arial]a·cos[/FONT][FONT=arial]φ·i + (a·[/FONT][FONT=arial]sen[/FONT][FONT=arial]φ - g)·k = - ([/FONT][FONT=arial]∂U/[/FONT][FONT=arial]∂x)·i [/FONT][FONT=arial]- ([/FONT][FONT=arial]∂U/[/FONT][FONT=arial]∂y)·j [/FONT][FONT=arial]- ([/FONT][FONT=arial]∂U/[/FONT][FONT=arial]∂z)·k[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]
Haciendo la igualdad componente a componente:

[/FONT][FONT=arial]a·cos[/FONT][FONT=arial]φ = -[/FONT][FONT=arial]∂U/[/FONT][FONT=arial]∂x => U = [/FONT][FONT=arial]∫[/FONT][FONT=arial]a·cos[/FONT][FONT=arial]φ·dx[/FONT][FONT=arial] = -a·x·cos[/FONT][FONT=arial]φ + C(y,z)

0 = -[/FONT][FONT=arial]∂U/[/FONT][FONT=arial]∂y = -[/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]C(y,z))/[/FONT][FONT=arial]∂y = 0 => C[/FONT][FONT=arial]≠C(y) => C = C(z)

[/FONT][FONT=arial]a·[/FONT][FONT=arial]sen[/FONT][FONT=arial]φ - g = -[/FONT][FONT=arial]∂U/[/FONT][FONT=arial]∂z = -[/FONT][FONT=arial]∂C/[/FONT][FONT=arial]∂z => C = [/FONT][FONT=arial]∫(g - [/FONT][FONT=arial]a·[/FONT][FONT=arial]sen[/FONT][FONT=arial]φ)·dz = gz - a·z·sen[/FONT][FONT=arial]φ + Co

Conclusión, el potencial del que derivan las fuerzas másicas es:

U = [/FONT][FONT=arial] -a·x·cos[/FONT][FONT=arial]φ + [/FONT][FONT=arial]gz - a·z·sen[/FONT][FONT=arial]φ + Co = [/FONT][FONT=arial]gz [/FONT][FONT=arial]-a·([/FONT][FONT=arial]x·cos[/FONT][FONT=arial]φ + [/FONT][FONT=arial]z·sen[/FONT][FONT=arial]φ) + C

Volviendo a la ecuación:

[/FONT][FONT=arial]0 = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·fm

Teniendo en cuenta que las fuerzas másicas derivan de un potencial:

[/FONT][FONT=arial]0 = [/FONT][FONT=arial]-[/FONT][FONT=arial]∇p - [/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇U
[/FONT][FONT=arial]
0 = [/FONT][FONT=arial]∇p +[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇U
[/FONT][FONT=arial]
Como es un líquido, la densidad como una constante, por tanto puede entrar en el gradiente de U como tal:

[/FONT][FONT=arial]0 = [/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]U)
[/FONT][FONT=arial]
Agrupamos los dos gradientes según la propiedad [/FONT][FONT=arial]∇(A + B) = [/FONT][FONT=arial]∇A + [/FONT][FONT=arial]∇B
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]0 = [/FONT][FONT=arial]∇(p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]U)
[/FONT][FONT=arial]
Esta ecuación nos está diciendo que las derivadas espaciales de "[/FONT][FONT=arial]p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]U" son nulas, es decir, que esta suma es constante en todo el campo fluido, (aunque en general podrá depender del tiempo, pero el movimiento es estacionario, no hay variaciones con el tiempo, asi que será una constante).

[/FONT][FONT=arial]p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]U = C*
[/FONT][FONT=arial]
p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz [/FONT][FONT=arial]- [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]a·([/FONT][FONT=arial]x·cos[/FONT][FONT=arial]φ + [/FONT][FONT=arial]z·sen[/FONT][FONT=arial]φ) + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]C = [/FONT][FONT=arial]C*
[/FONT][FONT=arial]
Como "[/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]C" también es constante, la pasamos al segundo miembro y nos queda otra constante Co = [/FONT][FONT=arial]C* - [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]C[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz [/FONT][FONT=arial]- [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]a·([/FONT][FONT=arial]x·cos[/FONT][FONT=arial]φ + [/FONT][FONT=arial]z·sen[/FONT][FONT=arial]φ)[/FONT][FONT=arial] = [/FONT][FONT=arial]Co

Ahora particularizamos en varios puntos. Lo primero es que sepamos que la superficie del líquido NO es horizontal, debido a la aceleración que sufre

Sabemos que, si despreciamos los efectos de tensión superficial, el equilibrio entre dos fluidos inmiscibles se reduce a que la presión en la frontera entre ambos debe ser la misma. La del aire que está dentro del cubo la llamare "pa" (presión ambiente)

Un punto de la superficie es el punto 2, que es el punto de cordenadas (x,z) = (-(d1 + d2)·[/FONT][FONT=arial]sen[/FONT][FONT=arial]φ, [/FONT][FONT=arial](d1 + d2)·cos[/FONT][FONT=arial]φ), siendo "[/FONT][FONT=arial]φ" el ángulo de inclinación del plano inclinado, conocido, y en este punto la presión es la ambiente, por tanto, particularizando:
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz [/FONT][FONT=arial]- [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]a·([/FONT][FONT=arial]x·cos[/FONT][FONT=arial]φ + [/FONT][FONT=arial]z·sen[/FONT][FONT=arial]φ)[/FONT][FONT=arial] = [/FONT][FONT=arial]Co = pa + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]g([/FONT](d1 + d2)·cosφ) - [FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]a·([/FONT][FONT=arial]([/FONT]-(d1 + d2)·senφ)[FONT=arial]·cos[/FONT][FONT=arial]φ + [/FONT][FONT=arial]([/FONT](d1 + d2)·cosφ)[FONT=arial]·sen[/FONT][FONT=arial]φ) = [/FONT][FONT=arial]pa + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]g([/FONT](d1 + d2)·cosφ)[FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]
Por tanto, nuestra ecuación es:

[/FONT][FONT=arial]p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz [/FONT][FONT=arial]- [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]a·([/FONT][FONT=arial]x·cos[/FONT][FONT=arial]φ + [/FONT][FONT=arial]z·sen[/FONT][FONT=arial]φ) = [/FONT][FONT=arial]pa + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]g([/FONT](d1 + d2)·cosφ)[FONT=arial]

Y ya el problema queda casi resuelto.

Para resolverlo del todo, particulariza la ecuación en el punto "4"[/FONT](L·cosφ - d1·senφ, L·senφ + d1·cosφ) (siendo "L" la arista del cubo)[FONT=arial] , de esta forma obtendrás una expresión para d1 = d1(d2)) [/FONT][FONT=arial]o viceversa[/FONT][FONT=arial], con lo cual te faltará otra ecuación para determinar exactamente d1 y d2. Esta ecuación que te falta es, que por ser un líquido, es decir, de densidad constante, entonces el volumen que ocupa inicialmente, debe ser igual al que ocupa al final (que lo puedes calcular como la suma de un prisma de volumen d1·L·L y la de un prisma rectángulo de volumen L·(L·d2)/2.

De esta forma ya resuelves totalmente el campo de presiones del líquido!

Saludos! [/FONT]

[arivasm]

Re: Fluido uniformemente acelerado en plano inclinado

¿Y no se podrá enfocar a través de la gravedad aparente, que marcaría la dirección de una vertical aparente, y tratar el ejercicio como si fuese una caja ladeada en un campo gravitatorio?

[nufel]

Re: Fluido uniformemente acelerado en plano inclinado

Muchas gracias por tan elaborada respuesta!!

[arivasm]

Re: Fluido uniformemente acelerado en plano inclinado

Como dije anteriormente, yo lo orientaría de esta manera: la gravedad aparente (que es $\vec g_{ap}=\vec g-\vec a$) forma un ángulo con la normal al plano tal que $\dst\tan\theta=\frac{a+g\sin 30\º}{g\cos 30\º}=0,866$ y tiene un valor $g_{ap}=\sqrt{a^2+g^2+2ag\sin 30\º}=11,227\,\rm m/s^2$. Eso significa que el problema equivale a tener la caja en una superficie inclinada $\theta=40,9\º$ (con lo que ése será el ángulo que formará la superficie del líquido con la horizontal aparente).

A partir de esa idea, las distancias $d_1$ y $d_2$ satisfacen las relaciones $d_1=L\tan\theta=1,732\,\rm m$ (L es el lado de la caja) y $d_1+2 d_2=L$, luego $d_2=0,134\,\rm m$.

La presión máxima corresponderá al punto 1 y la mínima al 3, que serán $p_1=p_{atm}+\rho g_{ap}(d_1+d_2)=120200\,\rm Pa$ y $p_2=p_{atm}+\rho g_{ap}d_2=102700\,\rm Pa$ (es decir, las soprepresiones, respecto de la atmosférica serán, respectivamente, 18900 Pa y 1350 Pa).

Por curiosidad: ¿se obtienen los mismos resultados con el enfoque de wanchufri?

[ZYpp]

Re: Fluido uniformemente acelerado en plano inclinado

Como dije anteriormente, yo lo orientaría de esta manera: la gravedad aparente (que es $\vec g_{ap}=\vec g-\vec a$) forma un ángulo con la normal al plano tal que $\dst\tan\theta=\frac{a+g\sin 30\º}{g\cos 30\º}=0,866$ y tiene un valor $g_{ap}=\sqrt{a^2+g^2+2ag\sin 30\º}=11,227\,\rm m/s^2$. Eso significa que el problema equivale a tener la caja en una superficie inclinada $\theta=40,9\º$ (con lo que ése será el ángulo que formará la superficie del líquido con la horizontal aparente).

A partir de esa idea, las distancias $d_1$ y $d_2$ satisfacen las relaciones $d_1=L\tan\theta=1,732\,\rm m$ (L es el lado de la caja) y $d_1+2 d_2=L$, luego $d_2=0,134\,\rm m$.

La presión máxima corresponderá al punto 1 y la mínima al 3, que serán $p_1=p_{atm}+\rho g_{ap}(d_1+d_2)=120200\,\rm Pa$ y $p_2=p_{atm}+\rho g_{ap}d_2=102700\,\rm Pa$ (es decir, las soprepresiones, respecto de la atmosférica serán, respectivamente, 18900 Pa y 1350 Pa).

Por curiosidad: ¿se obtienen los mismos resultados con el enfoque de wanchufri?

Siento revivir un tema tan antiguo, pero dado que nadie te ha contestado lo hago yo. (Y si os molesta, sus jodéis :^D)

Sí, el resultado (considerando que todas las operaciones estén bien hechas, que no me paré a verlas) es el mismo. De hecho esa U que escribe wanchufri no es más que el potencial de la gravedad aparente que tú mencionas. Todo lo que hace antes es el desarrollo teórico para llegar a esa conclusión, y lo que hace después es liarse un poco en vez de seguir como lo haces tú.

Saludos.

[arivasm]

Re: Fluido uniformemente acelerado en plano inclinado

Gracias, ZYpp. Se agradece que alguien se haya tomado la molestia de verificar la validez del enfoque.