lineal de primer orden

[natanael]

algo está malo

$\left( x^2+4 \right)\frac{\dd {y} }{\dd {x} }+8xy=2x;\;y(0)=-1$

$\frac{\dd {y} }{\dd {x} } +\frac{8xy}{x^2+4}=\frac{2x}{x^2+4}$

$y(x)=u(x)v(x)\to \frac{\dd {y} }{\dd {x} }=v\frac{\dd {u} }{\dd {x} }+u\frac{\dd {v} }{\dd {x} }$

$v\frac{\dd {u} }{\dd {x} }+u\frac{\dd {v} }{\dd {x} }+\frac{8xuv}{x^2+4} =\frac{2x}{x^2+4}$

$v\frac{\dd {u} }{\dd {x} }+u\left( \frac{\dd {v} }{\dd {x} }+\frac{8xv}{x^2+4} \right) =\frac{2x}{x^2+4}$

se hace $\frac{\dd {v} }{\dd {x} }+\frac{8xv}{x^2+4}=0$ por tanto

$\frac{\dd {v} }{\dd {x} }=-\frac{8xv}{x^2+4}$

$\frac{\dd u}{v} =-\frac{8x\dd d}{x^2+4}$ se hace el cambio $w(x)=x^2+4\to \dd w=2x\dd d$

$\text{ln}\,v+c_1=-4\text{ln}\, \left( x^2+4 \right) +c_2$

$\text{ln}\,v+\text{ln}\, \left( {\left( x^2+4 \right)}^{4} \right) = c_2-c_1$

$v{\left( x^2+4 \right)}^{4}={e}^{c_2-c_1}$, haciendo ${e}^{c_2-c_1}=1$ se halla que

$v(x)=\frac{1}{{\left( x^2+4 \right)}^{4}}$

por tanto, $u(x)=\frac{y(x)}{v(x)}\to y {\left( x^2+4 \right)}^{4}$, al continuar con

$v\frac{\dd {u} }{\dd {x} }+u\left( \frac{\dd {v} }{\dd {x} }+\frac{8xv}{x^2+4} \right) =\frac{2x}{x^2+4}$ tenemos que

$\frac{1}{{\left( x^2+4 \right)}^{4}}\frac{\dd {u} }{\dd {x} }=\frac{2x}{x^2+4}$ nuevamente usamos el cambio $w(x)$ así que cuando $x\to 0$,$w\to 4$, luego llegamos a

$y{\left( x^2+4 \right)}^{4}+256=\int_4^{x^2+4}w^3$ y mi cuenta finaliza en

$y(x)=\frac{1}{4} -\frac{320}{{\left( x^2+4 \right)}^{4}}$

que según el Maple 16 está malo!

help!