1r ciclo Choque elástico entre pelotas

[angel relativamente]

Saludos compañeros de la web de Física. Me han puesto una prueba con un ejercicio que tengo que hacer en casa y me gustaría que si tenéis un rato libre le echaseis un ojo a mis cálculos. El problema es el siguiente:

Cogemos dos pelotas, una de baloncesto y una de tenis, con masas reglamentarias de M=600g y m=58g respectivamente. Sostenemos la pelota de tenis encima de la de baloncesto, separadas una pequeña distancia, y las dejamos caer libremente. La pelota de baloncesto llega a tierra después de recorrer 1m, rebota y choca con la pelota de tenis que sale impulsada hacia arriba. Suponiendo que las velocidades de las pelotas tienen solo componentes verticales, calcular la altura a la que llega a) la pelota de tenis b) la pelota de baloncesto.

Lo primero que noto es que hay que hacer muchas idealizaciones. En primer lugar, considerar ambas pelotas como puntuales, y la distancia inicial a la que se encuentran nula. En segundo lugar, considerar que el choque entre ambas pelotas será a altura 0 (como consecuencia de las anteriores consideraciones) y que todos los choques (baloncesto-suelo , baloncesto-tenis) son perfectamente elásticos.
En este problema no trabajaré con magnitudes vectoriales ya que es unidimensional, por lo que consideraré el eje x positivo hacia arriba sobre la vertical. Dicho esto, empezamos.

Tenemos las dos pelotas inicialmente a una altura h, por lo que las energías potenciales son $U_B=Mgh$ y $U_T=mgh$, respectivamente. Por conservación de la energía, podemos ver que las velocidades cuando h=0 son $v_B=v_T=\sqrt{2gh}$. En el choque entre ambas pelotas se conserva el momento lineal y, al ser elástico, la energía mecánica, por lo que:

$$\dfrac 12 Mv_B^2+\dfrac 12 mv_T^2 = \dfrac 12 Mv_B'^2 +\dfrac 12mv_T'^2$$

$$Mv_B-mv_T=Mv_B'+mv_T'$$

Nótese que les pongo el signo opuesto a $v_T$ porque la pelota de baloncesto ya ha chocado contra el suelo. Considero también que las velocidades de las pelotas después del choque serán ambas positivas (no sé muy bien hasta que punto puedo hacer tal suposición).
Agrupando términos en la primera ecuación y dividiéndola entre la segunda, podemos linealizar el sistema y convertirlo en:

$$v_T'-v_B'=v_B+v_T$$

$$mv'_T+Mv'_B=Mv_B-mv_T$$

De donde sale que:

$$\dst v'_T= \dfrac{2Mv_B+(M-m)v_T}{M+m}=\dfrac{3M-m}{M+m}\sqrt{2gh}$$

$$\dst v'_B=\dfrac{(M-m)v_B-2mv_T}{M+m}=\dfrac{M-3m}{M+m}\sqrt{2gh}$$

Y teniendo en cuenta que se encuentran en altura 0, las alturas finales que alcancen serán:

$$\dst {v'_T}^2=2gh_T \Rightarrow \boxed{h_T=h\left(\dfrac{3M-m}{M+m}\right)^2}$$

$$\dst {v'_B}^2=2gh_B \Rightarrow \boxed{h_B=h\left(\dfrac{M-3m}{M+m}\right)^2}$$

Por otra parte, estaba pensando si podría resolver el ejercicio tratándolo como un sistema de partículas. Tendríamos que el centro de masas se encuentra inicialmente a una altura h, y al final vuelve a encontrarse a dicha altura, pues el choque es elástico y la única fuerza externa es la gravitatoria. Por tanto ha de cumplirse que:

$$(M+m)h=Mh_B+mh_T$$

Y de hecho las soluciones que he obtenido anteriormente cumplen esta condición. No obstante, si quisiera resolverlo por este método, me faltaría una ecuación que me relacionase las posiciones finales de ambas partículas. ¿Alguna idea?

Un saludo a todos, y muchas gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Choque elástico entre pelotas

En mi opinión es imprescindible manejar la expresión para la transferencia de momento que se produce en el instante del choque. Como bien has escrito, sería $Mv_B-mv_T=Mv_B'+mv_T'$, que admitiría ser escrita como $(M-m)\sqrt{2 g h}=M\sqrt{2gh_B}+m\sqrt{2gh_T}$, es decir, $(M-m)\sqrt{h}=M\sqrt{h_B}+m\sqrt{h_T}$

[angel relativamente]

Re: Choque elástico entre pelotas

¡Gracias!, aunque quizá por ese método no me hubiese ahorrado mucho cálculo, ya que se complica a la hora de resolver el sistema, conceptualmente es mucho más sencillo.

Un saludo Arivasm, y gracias de nuevo

[arivasm]

Re: Choque elástico entre pelotas

No sé qué quieres que te diga... Si manejamos como variables no las alturas finales, sino sus raíces cuadradas, tenemos un sistema de dos ecuaciones que no parece demasiado complicado resolver. Siendo, además, vago, no usaré las masas, sino la relación entre ellas, $\mu=m/M$, ni tampoco las raíces cuadradas de las alturas, sino su valor relativo a la raiz de la altura inicial, es decir $x_i=\sqrt{h_i/h}$. De esta manera tenemos que

$$1+\mu=x_B^2+\mu x_T^2$$

$$1-\mu=x_B+\mu x_T$$

Cual novato en esto, despejo en cada una $x_B^2$

$$x_B^2=1+\mu-\mu x_T^2$$

$$x_B^2=(1-\mu-\mu x_T)^2$$

e igualamos, con lo que nos queda la ecuación de segundo grado

$$(1+\mu) x_T^2-2(1-\mu) x_T-3+\mu=0$$

cuya única raíz positiva es

$$\dst x_T=\frac{3-\mu}{1+\mu}$$

que nos lleva directamente a tus soluciones, pero de un modo bastante elegante!

[angel relativamente]

Re: Choque elástico entre pelotas

No te acostarás sin aprender algo nuevo, dicen. Qué poco estoy familiarizado con hacer ese tipo de cambios de variable. Muchas gracias por enseñarme la resolución alternativa

Un saludo,

[Elkin]

Re: Choque elástico entre pelotas

Es mejor si se toma como sistema de referencia la bola de baloncesto, así, está estará con velocidad igual a cero, mientras la de tenis bajaría con dos veces la velocidad original. Entonces al chocar las dos, por conservación del momentum, la bola de tenis subirá con dos veces la velocidad, que al salir del marco de la bola de baloncesto se convierte en 3 veces la velocidad con la que bajaba y así, por conservación de la energía se encuentra la nueva altura.