Energía necesaria para pasar de órbita circular a elíptica

[arivasm]

Otro punto de vista (que, por supuesto, es en realidad el mismo).

Como en el punto de partida (admitiendo que el aporte de energía va a ser suficientemente corto como para no tener que tomar en consideración su duración), pasará de una órbita de energía $\dst -G\frac{Mm}{2r_0}$ a otra de energía $\dst -G\frac{Mm}{2a}$, la cantidad de energía que hay que suministrar será $\dst\Delta E= \frac{1}{2} GMm\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{a}\right)$. Por otra parte, el perigeo está a una distancia $r_0$ y el apogeo a una $2r_0$, luego $a=\frac{3}{2}r_0$. De esta manera $\dst\Delta E=G\frac{Mm}{2r_0}\left(1- \frac{2}{3}\right)=G\frac{Mm}{6r_0}$

Para el segundo aporte el cálculo es idéntico, con la diferencia de que la nueva energía final es $\dst -G\frac{Mm}{4r_0}$ mientras que la inicial es $\dst -G\frac{Mm}{2a}$, de manera que $\dst\Delta E'=G\frac{Mm}{2r_0}\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)=G\frac{Mm}{12 r_0}$

[Alriga]

... tengo una pequeña duda: por qué para calcular el cambio en la energía al principio tomaste la velocidad en el perigeo y la velocidad en la órbita circular? Luego, para la segunda parte del problema tomaste la energía en la nueva órbita y la velocidad en el apogeo.
Es decir, por qué para la primer parte tomaste el perigeo y para la segunda el apogeo? No podrías haber usado una sola en las dos? Por ejemplo, solo el apogeo ...

Piensa en la Física del ejercicio. Primero estamos en órbita circular de radio $r_0$ Si no aportamos energía seguiríamos en esa órbita para siempre. Hay que hacer un primer aporte de energía (=aumento de la velocidad) para pasar de la órbita circular de radio $r_0$ a la órbita elíptica de perigeo $r_0$ y apogeo $2r_0$. Mirando el dibujo verás que esa órbita elíptica ha de tener como semieje mayor "$a$" la semisuma de apogeo y perigeo. Ese primer aporte de energía es $\Delta E_0$

Si no hacemos ningún nuevo aporte de energía, ahora el satélite se quedaría para siempre en la órbita elíptica. Si queremos que pase a una nueva órbita circular de radio $2r_0$ hay que hacer un aporte de energía justo cuando el satélite pase por el apogeo, (cuya distancia a la Tierra también es $2r_0$) Ese segundo aporte de energía es $\Delta E_1$

Mira Órbita de transferencia de Hohmann

Saludos.

[Like Tony Stark]

La velocidad en el perigeo de la órbita elíptica cuyo semieje mayor es:

$a=\dfrac{r_0+2r_0}2=\dfrac{3r_0}2$

se calcula:

$v_{0p}=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1{r_0}-\dfrac 1{2 \ a} \right )}$

$v_{0p}^2=2GM\left (\dfrac{1}{r_0}-\dfrac{1}{3r_0}\right )$

$v_{0p}^2=\dfrac{4GM}{3r_0}$

Si "m" es la masa del satélite, el incremento de energía cinética será:

$\Delta E_0=\dfrac 1 2 m \big (v_{0p}^2-v_0^2\big )$


La velocidad en el apogeo de la órbita elíptica de semieje mayor $a=3r_0/2$ es:

$v_{1a}^2=2GM\left (\dfrac{1}{2r_0}-\dfrac{1}{3r_0}\right )$

$v_{1a}^2=\dfrac{GM}{3r_0}$

Finalmente, la velocidad en la órbita circular de radio $2r_0$ es:

$v_1^2=\dfrac{GM}{2r_0}$

El incremento de energía cinética será ahora:

$\Delta E_1=\dfrac 1 2 m \big (v_1^2-v_{1a}^2\big )$

Hola! Muchas gracias por la ayuda; tengo una pequeña duda: por qué para calcular el cambio en la energía al principio tomaste la velocidad en el perigeo y la velocidad en la órbita circular? Luego, para la segunda parte del problema tomaste la energía en la nueva órbita y la velocidad en el apogeo.
Es decir, por qué para la primer parte tomaste el perigeo y para la segunda el apogeo? No podrías haber usado una sola en las dos? Por ejemplo, solo el apogeo
Gracias!

[Alriga]

Hola Hombre de Hierro, voy a usar las expresiones para “CIRCUNFERENCIA” y “ELIPSE” demostradas en Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas. Se supone, naturalmente, que la masa del satélite es despreciable respecto de la masa de la Tierra.

La primera órbita es circular de radio $r_0$ por lo tanto su velocidad es:

$v_0^2=\dfrac{GM}{r_0}$

La velocidad en el perigeo de la órbita elíptica cuyo semieje mayor es:

$a=\dfrac{r_0+2r_0}2=\dfrac{3r_0}2$

se calcula:

$v_{0p}=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1{r_0}-\dfrac 1{2 \ a} \right )}$

$v_{0p}^2=2GM\left (\dfrac{1}{r_0}-\dfrac{1}{3r_0}\right )$

$v_{0p}^2=\dfrac{4GM}{3r_0}$

Si "m" es la masa del satélite, el incremento de energía cinética será:

$\Delta E_0=\dfrac 1 2 m \big (v_{0p}^2-v_0^2\big )$

Sustituye y opera.

La velocidad en el apogeo de la órbita elíptica de semieje mayor $a=3r_0/2$ es:

$v_{1a}^2=2GM\left (\dfrac{1}{2r_0}-\dfrac{1}{3r_0}\right )$

$v_{1a}^2=\dfrac{GM}{3r_0}$

Finalmente, la velocidad en la órbita circular de radio $2r_0$ es:

$v_1^2=\dfrac{GM}{2r_0}$

El incremento de energía cinética será ahora:

$\Delta E_1=\dfrac 1 2 m \big (v_1^2-v_{1a}^2\big )$

Sustituye, opera y ya está.

La elipse propuesta es una "Órbita de transferencia de Hohmann"

Saludos.

PD. Mientras yo preparaba el LaTeX veo que sater y carroza, también han respondido, saludos a ambos.

[carroza]

Hola.

Este problema se resuelve facilmente si conoces el concepto de potencial centrífugo.

El movimiento en la direccion radial viene determinado por la suma de la energía potencial gravitatoria, $U_g(r) =- GMm/r$, y una energía potencial centrífuga $U_c(r) = L^2/(2 m r^2)$. Los puntos en los que la energía cumple que $E = U_g(r) + U_c(r)$, son los puntos de retorno de la trayectoria, que corresponden a la distancia máxima y mínima (afelio y perihelio).
El las trayectorias circulares, la ecuación anterior tiene una única soluciór, que es el radio de la trayectoria. Esto ocurre porque la energía E coincide con el mínimo de la función $U_g(r) + U_c(r)$.

Con estas cosnideraciones, puedes obtener el valor de la energía y el momento angular para la trayectoria inicial circular de radio r_0, la trayectoria elíptica de perihelio y afelio r_0 y 2 r_0. y la trayectoria final circular de radio 2 r_0.

Un saludo

[sater]

Mira a ver si esto te puede ayudar.

[Like Tony Stark]

Un satélite artificial describe una trayectoria circular de radio ro, alrededor de la Tierra. a) ¿Cuál debe ser el incremento en su energía cinética para que pase a describir una órbita elíptica cuyo apogeo A’ este a 2ro?. b) ¿Qué nuevo aumento se debe dar a su velocidad para mantenerlo en la órbita circular de radio 2ro?.

Hola! No sé cómo encarar el problema, es decir, podría calcular la energía cinética que tiene en la órbita circular y luego la que tiene en la elíptica, y su diferencia sería el cambio en la energía cinética. Pero cómo llego a eso? Imagino que también puedo usar el concepto de excentricidad, pero qué fórmula uso para relacionarla con la energía mecánica?