Movimiento de un satélite en órbita elíptica

[Millicdnt]

Hola tengo este problema:
Un satélite en órbita elíptica de excentricidad e tiene una velocidad V_a en el apogeo, V_p en el perigeo, y V_o en los extremos del eje menor de su ´orbita. Demuestre que a) V_p/V_a= (1 + e)/(1 − e) y b) V_o/V_a= (V_p/V_a)½. a) lo tengo ya resultó pues con la conservación del momento angular L_a=L_p siendo que V_pr_pm = V_ar_am
Quedando V_pr_p= V_ar_a despejando queda que
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siguiendo por ley de las órbitas r_a = a(1+e) y r_p = a(1-e) entonces ya queda que V_p/V_a = (1+e)/(1-e)

Pará b) tenemos que la energía total que se conserva es E = - $\frac{GMm}{2a}$ y la energía potencial es $U= - \frac{GMm}{r}$ y la energía cinética $K = \frac{mV_o^2}{2}$ Despejando se tiene que $V_o^2 = 2GM$ y haciendo lo mismo con $V_a^2 = \frac{GM(2a-r_a)}{r_a}$ y haciendo el cociente queda que
$\frac{v_o^2}{v_a^2} = \frac{2V_p}{V_a}$

Mi duda en realidad es como se quitaría ese 2 ya que no es como se pide

Saludos y gracias

[Richard R Richard]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Alguna letra está mal en código de tu fórmula en látex
$\frac{V_p}{V_a}=\frac{r_a}{r_p}$

[Alriga]

Pará b) tenemos que la energía total que se conserva es $E=-\dfrac{GMm}{2a}$ y la energía potencial es $U= - \dfrac{GMm}{r}$ y la energía cinética $K = \dfrac{mV_o^2}{2}$ Despejando se tiene que $\cancel{\boldsymbol{V_o^2 = 2GM}}$

Observa que tu última expresión no es correcta, partiendo de la expresión de la energía mecánica total de la órbita:

$E=-\dfrac{GMm}{2a}$

Y de la expresión de la energía potencial a cualquier distancia entre las masas dada por el radiovector r:

$U=- \dfrac{GMm}r$

Notar que los extremos del eje menor están a una distancia "a" del foco de la elipse en el que se ubica M, por lo tanto en la expresión de la energía potencial hay que sustituir en el radio vector el valor del semieje mayor r=a

$U=-\dfrac{GMm}a$

A la energía total le restamos la potencial para obtener la energía cinética en los extremos del eje menor:

$K=E-U=\dfrac{GMm}{2a}$

Lo igualamos a:

$K=\dfrac 1 2 m V_0^2$

Y despejamos la velocidad, obteniendo:

$V_0^2=\dfrac{GM}a$

A partir de aquí ya puedes continuar. Muy posiblemente te interesará consultar Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas en donde hallarás las demostraciones de todas las expresiones relevantes.

Si tienes más dudas, vuelve a preguntar, saludos.