Otras carreras Movimiento planetario ( potencial efectivo)

[cristianoceli]

Hola estaba intentando realizar una tarea que propuso mi profesor y he tenido algunas dudas

Considere que un planeta posee un potencial efectivo de la forma : $C/x^2 - B/x$ dodne C y B son constantes positivas y $x$ corresponde a la distancia entre el planeta y el Sol. Puesto que el planeta permanece en órbita alrededor del Sol su energía total $(A)$ debe ser negativa, por lo cual la relación queda de la forma:


$-A = C/x^2 - B/x$


Se pide:


a) Usando planilla de cálculo grafique potencial efectivo vs posición [tex](x)[/tex. Señale en el gráfico la energía del cuerpo.
b) Determine los puntos de retorno en forma analítica y compare con su gráfico.
c) ¿Para que energía del planeta $(A)$ la órbita seria circular? Determinelo en forma analítica y compare con su gráfico
d) ¿A que distancia debería orbitar el planeta en tal caso. Determinelo en forma analítica y compare con su gráfico.


Considere la presencia de otro planeta cercano a la Tierra y suponga que la energía potencial en un 5%. Determine como se modifica la órbita de nuestro planeta en presencia de aquél. Explique y justifique


e) Órbita exterior a nuestro planeta $R \approx{5 R_0}$
f) Órbita exterior a nuestro planeta $R \approx{0,2 R_0}$

Considere los valores
A = 2 , B=7, C=6

Lo que he hecho


a) La gráfica es aproximadamente así:




b) No se muy bien como calcular los puntos de retorno en forma analítica


c) En el punto E1 seria circular pero no se como determinarlo de forma analítica


d) No entiendo muy bien como hacerlo




e) La órbita exterior quedaría así:


Sea $R =$ distancia entre sol y planeta x


$A = C/x^2 - B/x - \displaystyle\frac{D}{R-x}$ $R >x$


Es decir al graficar la excentricidad de la órbita se agranda


f) La órbita interior quedaría así:


Sea $R =$ distancia entre sol y planeta x


$A = C/x^2 - B/x - \displaystyle\frac{D}{R-x}$ En este caso $R < x$


Es decir al graficar la excentricidad de la órbita se achica


De antemano gracias.


Saludos

[Richard R Richard]

Re: Movimiento planetario ( potencial efectivo)

Hola cristian

para b) los puntos de retorno son los puntos de la trayectoria que satisfacen que la energía mecanica es igual al potencial efectivo. Sería hallar el valor de x

que satisface $-A = C/x^2 - B/x$ si multiplicas ambos terminos por $x^2$ te queda una cuadratica (solo seran posible las trayectorias de x positivas)

en c) la órbita es circular cuando la velocidad radial es nula es decir cuando el potencial efectivo es un mínimo,(E1 como dices) . Para hallar el mínimo debes derivar el potencial igualarlo a 0 y hallar el radio x que satisface esa ecuacion.

d) para poder orbitar minimamente la energia mecánica tiene que ser negativa, son los puntos que satisfacen $E_m=C/x^2 - B/x\leqslant 0$

Luego

Considere la presencia de otro planeta cercano a la Tierra y suponga que la energía potencial............. en un 5%.

............que va alli ¿Aumenta ?

si es asi la energia potencial es B osea $B'=1.05 B$
la verdad no tengo mucha idea de como ayudarte con e y f así que antes que yo te líe puedes esperar la ayuda de algún otro forero.

[cristianoceli]

Re: Movimiento planetario ( potencial efectivo)

Hola, gracias por tu ayuda.

En la parte: Considere la presencia de otro planeta cercano a la Tierra y suponga que la energía potencial............. en un 5%.
No aparece nada mas (no es muy claro, tendré que preguntarle al profesor)

Saludos.

- - - Actualizado - - -

[Al2000]

Re: Movimiento planetario ( potencial efectivo)

...Para hallar el mínimo debes derivar el potencial igualarlo a 0 y hallar el radio x que satisface esa ecuacion.
...

Si se ha resuelto el inciso anterior, entonces se podría forzar la solución real doble de la cuadrática haciendo cero el discriminante. Lo pongo como otra opción...

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Movimiento planetario ( potencial efectivo)

Hola Al2000, a mi la parte real de la cuadrática del punto b) me sale $x=\dfrac{B}{2A}+\dots$

en cambio en el punto c) la posición del mínimo me da $x=\dfrac{2C}{B}$ por lo que no se corresponderían con la misma posición???.

Saludos.

[Al2000]

Re: Movimiento planetario ( potencial efectivo)

En la primera, sustituye el valor de $A$ por el valor que obtienes al hacer cero el discriminante $B^2 - 4 A C$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$