trabajo en un fluido

[China]

Hola, a ver si me ayudáis con este problema por favor, " Determina el trabajo mínimo para sacar fuera del liquido un cono macizo sumergido en dicho líquido. Eje cono vertical, nivel liquido constante, altura cono 2R, distancia del vértice superior del cono a la superficie 2R, radio de la base del cono R, densidad del líquido d y densidad del cono 2d"
El trabajo dentro del agua, seria la fuerza neta a vences, que es $P-E=dgS2R$ por el espacio a recorrer que seria 2R antes de salir del agua, aunque creo que esto debe ser con diferenciales, pues no es una masa puntual no?, supongo que tendría que hacer un dm del cono y ver las fuerzas aplicadas ... pero el problema mayor lo veo cuando empiece a salir del agua, el peso es el mismo, pero el empuje?? vamos no veo como plantearlo.
Saludos

[delmar7]

Hola

La idea que tienes es correcta, existen dos trabajos $W_1, W_2$ el primero es para mover el cono hasta que su vértice llegue a la superficie del líquido y el segundo se corresponde con la extracción. Luego el trabajo total e $W=W_1+W_2$

Cálculo de $W_1$

El trabajo mínimo ocurre usando la fuerza mínima $F_1$, esa fuerza es la que neutraliza a las otras dos que se ejercen sobre el cono, a saber el peso $P=-mg=-2dV_cg$ y el empuje $E=dV_cg$ donde $V_c=\frac{ \pi R^2(2R)}{3}=\frac{2 \pi R^3}{3}$, entonces $F_1-2dgV_c+dgV_c=0 \Rightarrow F_1=dgV_c \Rightarrow W_1=F_1 2R=2RdgV_c$, las fuerzas son constantes y el desplazamiento es 2R.

Cálculo de $W_2$

Considerando como eje Z con dirección positiva hacia arriba, un eje vertical cuyo origen coincide con el vértice del cono en la superficie del líquido (empieza a salir) durante la extracción del cono, la coordenada z del vértice del cono varía desde 0 hasta 2R. e identifica al cono durante la extracción. Para cada z hay una fuerza de extracción mínima $F_2$ la cual neutraliza a las otras dos fuerzas, peso P y empuje E , la primera es constante pero la segunda es variable es una función de z. Se tiene $F_2-2dgV_c+E(z)=0 \Rightarrow F_2=2dgV_c-E(z)$ evidentemente es una función de z, entonces $W_2=\int_0^{2R}F_2(z)dz$. Entonces hay que precisar $E(z)$ por definición , es el peso del líquido desplazado por la parte del cono que esta sumergida. Cuando el vértice tiene coordenada z, el volumen de la parte sumergida es $V_c-V_a$ donde $V_a$ es el volumen que esta afuera, en este caso será: $V_a=\frac{\pi(z/2)^2z}{3}=\frac{\pi z^3}{12}$ en consecuencia $E(z)=dg(V_c-\frac{\pi z^3}{12})$. Por lo tanto :

$W_2=\int_0^{2R}F_2(z)dz=\int_0^{2R}(2dgV_c-dg(V_c-\frac{\pi z^3}{12}))dz=\int_0^{2R}(dgV_c+\frac{dg\pi z^3}{12})dz$ esto se puede integrar. y $W=W_1+W_2$




Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Quizás haya otra manera, considerando que el trabajo mínimo, es la diferencia entre la energía potencial gravitatoria final y la energía potencial gravitatoria inicial. De esta manera, y llamando $\rho_c$ a la densidad del cono, y $\rho_f$ a la densidad del fluido, llego a que

$W=(8\rho_c-7\rho_f)\dfrac{\pi R^4g}{3}$

Saludos cordiales,
JCB.

[China]

Hola, pero te refieres al trabajo variable no?? al que se realiza al salir del agua en el que la fuerza de empuje va disminuyendo y por tanto el trabajo aumentando....
Desarrollando la integral de dicho trabajo planteada por delmar7, me queda $w=dg(2RV_c+3\pi R^4)$ el segundo termino se corresponde con tu resultado, pero y el primero... ??

[delmar7]

Al desarrollar el integral se obtiene $W_2=dg(2RV_c+\frac{\pi R^4}{3})$. El cono no solamente esta sometido a la fuerza gravitatoria la cual es constante; sino también al empuje del fluido, en un primer tramo constante y luego durante la extracción variable. Lo que dice JCB se daría en caso la única fuerza sobre el cono fuera la gravitatoria; pero no es asi, el empuje esta presente en ambos tramos y siempre hacia arriba.

Saludos

Nota : Tuve un error tipográficos en lugar $W_2$ puse W, ya esta corregido

[Richard R Richard]

Aver si me sale

cuando el cono esta sumergido, esta expuesto a dos fuerzas colineales y opuestas, su peso y el empuje

Llamo $V_c$ al volumen del cono $V_c=\dfrac{2\pi R^3}{3}$

del mismo modo una porción emergida una altura $2r$ tendrá un volumen de $V_{(2r)}=\dfrac{2\pi r^3}{3}$ o $V_{(r)}=\dfrac{\pi r^3}{12}$

Entonces el trabajo esta dividido en dos partes, una donde peso y empuje on constante y otra donde el empuje varia con la altura sumergida

veamos la primera la fuerza resultante es $F_R=P-E$ y el trabajo de ascender será

$W_1=\dst\int\limits_{-2R}^{0}F_Rdl$

$W_1=\dst\int\limits_{-2R}^{0}(P-E)dl$

$W_1=\dst\int\limits_{-2R}^{0}(\rho_cV_cg-\rho_lV_cg)dl$

$W_1=\dst\int\limits_{-2R}^{0}(\rho_cV_cg-\rho_lV_cg)dl$

$W_1=2R(\rho_cV_cg-\rho_lV_cg)$


cuando asciende el peso es constante pero el empuje no


$W_2=\dst\int\limits_{0}^{2R}F_Rdl$

$W_2=\dst\int\limits_{0}^{2R}(P-E)dl$

$W_2=\dst\int\limits_{0}^{2R}(\rho_cV_cg-\rho_l(V_c-V_e)g)dl$

$W_2=2R(\rho_cV_cg-\rho_lV_cg)+\rho_lg\dst\int\limits_{0}^{2R}V_edl$

$W_2=2R(\rho_cV_cg-\rho_lV_cg)+\rho_lg\dst\int\limits_{0}^{2R}\dfrac{\pi l^3}{12}dl$

$W_2=2R(\rho_cV_cg-\rho_lV_cg)+\rho_lg\dfrac{\pi l^4}{48}\Vert_{0}^{2R}$

$W_2=2R(\rho_cV_cg-\rho_lV_cg)+\rho_lg\dfrac{\pi R^4}{3}$

$W=W_1+W_2=4R(\rho_cV_cg-\rho_lV_cg)+\rho_lg\dfrac{\pi R^4}{3}$

$W=W_1+W_2=4R(\rho_c\dfrac{2\pi R^3}{3}g-\rho_l\dfrac{2\pi R^3}{3}g)+\rho_lg\dfrac{\pi R^4}{3}$

$W=\dfrac{\pi g R^4}{3}(8\rho_c-7\rho_l)$

Salvo nomenclatura coincido con JCB

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

A continuación, indico como llegué al resultado del mensaje # 3.

$E_{pg1}=(P-E)h_1=\left(\rho_c\dfrac{2\pi R^3}{3}g-\rho_f\dfrac{2\pi R^3}{3}g\right)\left(-\dfrac{7}{2}R\right)=-(\rho_c-\rho_f)\dfrac{7\pi R^4}{3}g$

$E_{pg2}=Ph_2=\rho_c\dfrac{2\pi R^3}{3}g\dfrac{R}{2}=\rho_c\dfrac{\pi R^4}{3}g$

$W=E_{pg2}-E_{pg1}=(8\rho_c-7\rho_f)\dfrac{\pi R^4g}{3}$

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola, una aclaración que no he hecho es que en en la solución hemos dado por supuesto la inexistencia de fuerza de rozamiento viscoso, de modo que el trabajo obtenido es el minimo y entonces compatible con la conservación de la energía pues las fuerzas involucradas son conservativas.

[delmar7]

En mi anterior mensaje tuve una errata lo que estaba calculando era el integral es decir el $W_2$ y quizás llevó a confusiones. El resultado W , es decir el trabajo mínimo total, que incluye mover el cono a la superficie y extraer es :

$W=W_1+W_2=2RdgV_c+(dg(2RV_c+\frac{\pi R^4}{3}))=(8\rho_c-\rho_f) \frac{\pi R^4g}{3}$

Sería bueno demostrar que el campo P-E, es conservativo

Saludos

[Richard R Richard]

Sería bueno demostrar que el campo P-E, es conservativo

Saludos

Hola , creo que la fórmula que pones todavía contiene una omisión, pero atendiendo a lo que cito , "lo que se dice demostrar, no lo sé", pero dada algunas condiciones extras podemos hacernos una idea.

• Primero: suponer que la densidad no varía apreciablemente con la profundidad, de hecho esto no es cierto y bien que medido está el coeficiente de compresibilidad de los fluidos.
• Segundo:* suponer la temperatura constante en el seno del fluido por lo que tampoco la densidad varia con ella.
• Tercero: que la aceleración de la gravedad no varía apreciablemente con la profundidad.
• Cuarto: que el volumen del cuerpo no varía con la presión que ejerce el fluido, lo cual tambien sabemos es a ultranza falso, del mismo modo que la primer suposición.

Dado estos supuestos la fuerza empuje resulta constante e independiente de la profundidad, por lo que el trabajo realizado por la fuerza empuje depende de la altura final e inicial del desplazamiento y no del camino seguido , por lo tanto un ciclo cerrado sumará trabajo cero , de ahí asimilarlo como conservativo no lo veo mala idea para este ejercicio. Eso creo que es lo que matemáticamente hemos expresado.

Saludos

Pd: * Francia

[delmar7]

Hola , creo que la fórmula que pones todavía contiene una omisión, pero atendiendo a lo que cito , "lo que se dice demostrar, no lo sé", pero dada algunas condiciones extras podemos hacernos una idea.

• Primero: suponer que la densidad no varía apreciablemente con la profundidad, de hecho esto no es cierto y bien que medido está el coeficiente de compresibilidad de los fluidos.
• Segundo:* suponer la temperatura constante en el seno del fluido por lo que tampoco la densidad varia con ella.
• Tercero: que la aceleración de la gravedad no varía apreciablemente con la profundidad.
• Cuarto: que el volumen del cuerpo no varía con la presión que ejerce el fluido, lo cual tambien sabemos es a ultranza falso, del mismo modo que la primer suposición.

Dado estos supuestos la fuerza empuje resulta constante e independiente de la profundidad, por lo que el trabajo realizado por la fuerza empuje depende de la altura final e inicial del desplazamiento y no del camino seguido , por lo tanto un ciclo cerrado sumará trabajo cero , de ahí asimilarlo como conservativo no lo veo mala idea para este ejercicio. Eso creo que es lo que matemáticamente hemos expresado.

Saludos

Pd: * Francia

Mientras el cuerpo esta sumergido enteramente en el fluido, evidentemente el empuje es conservativo, en la extracción en donde el empuje es variable ¿Cómo será?

Saludos

[Richard R Richard]

Hola, el empuje es el resultado de la integral de la presión en cada diferencial de área sumergida cubra o no todo el volumen el fluido.
Dependerá del volumen dentro del líquido , sumergir y reflotar son operaciones opuestas que no alteran ninguna naturaleza del objeto salvo su elasticidad, pero a la vez también sabemos que las fuerzas elásticas son conservativas.
El trabajo para elevar el centro de masa de un cuerpo, es el mismo que para bajarlo , siempre y cuando

• No se rote el eje vertical o coincidente con la dirección de la aceleración de la gravedad.
• El tamaño del objeto o sus dimensiones fuera del liquido, sean superiores al radio de curvatura provocado por la tensión superficial, o directamente ésta despreciable frente a la acción del peso y el empuje.
• El objeto tenga la suficiente rigidez estructural para que no se deforme ante la aceleración dada para moverlo en su ascenso y descenso.

Le encuentras alguna objeción a estos criterios, son demasiadas quizás, bienvenida sea para debatirla.
Saludos.

[delmar7]

La idea sería encontrar la expresión de la energía potencial delcuerpo cuando se lo extrae, eso respondería a la interrogante y sería útil, quizás lo intente.

Saludos