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Problema conservación del momento lineal

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  • 1r ciclo Problema conservación del momento lineal

    Hola, llevo unos días dándole vueltas a este problema y no sé como plantearlo.

    La primera parte dice: Un vagón de ferrocarril incontrolado de masa 14000 kg se desplaza horizontalmente a 4 m/s hacia un cambio de agujas. Al pasar cerca de un almacén de grano, 2000 kg de grano caen súbitamente sobre el vagón. ¿Cuánto tiempo tardará el vagón en cubrir la distancia de 500m que hay desde el almacén hasta el cambio de agujas? Suponer que el grano cae verticalmente y que la desaceleración debida al rozamiento por rodadura y la resistencia del aire es despreciable.

    Esta primera parte la sé solucionar:











    Pero ahora el ejercicio pone: Supongamos que hay un pequeño agujero en el fondo del vagón, de modo que el grano se escapa por él a razón de 10 kg/s. ¿Cuánto tiempo tarda ahora el vagón en cubrir los 500m?
    No sé como plantearlo

  • #2
    Re: Problema conservación del momento lineal





    si usas regla de la derivada de una multiplicación de funciones y la regla de la cadena



    dividiendo por la masa



    si no hay fuerzas exteriores y el grano cae perpendicular y sin rozamiento














    luego integro para hallar el desplazamiento







    luego despejo el tiempo

    Comentario


    • #3
      Re: Problema conservación del momento lineal

      Muchas gracias por la respuesta Richard, me la dejo apuntada porque mi nivel de matemáticas aun no me llega para poderlo seguir , lo volveré a mirar de aquí dos semanas que voy a hacer solo integrales.

      Me he dejado de poner que la solución que pone el libro es:

      140 segundos. El grano que se escapa no transmite momento lineal alguno al resto del sistema. Si el suelo careciese de rozamiento y fuera plano, todo el grano inicialmente en el vagón llegaría al cambio de agujas al mismo tiempo que el vagón.

      Comentario


      • #4
        Re: Problema conservación del momento lineal

        Hola a todos.

        Se trata de aplicar el concepto de conservación de la cantidad de movimiento a un sistema con masa variable.

        - Antes de empezar la descarga, la cantidad de movimiento, es: .

        - Durante la descarga, la cantidad de movimiento, es: , donde es la velocidad absoluta del caudal másico, .

        ,

        ,

        ,

        (si no hay fuerza exterior aplicada).

        Dividiendo por :

        ,

        ,

        .

        Es decir, el vagón tendría desaceleración, en función de la velocidad relativa del caudal másico. En caso de que esta velocidad relativa fuese u=0, el vagón seguiría con velocidad constante de 3,5 m/s.
        “Lo consiguieron porque no sabían que era imposible”, autor: Jean Cocteau.

        Comentario


        • #5
          Re: Problema conservación del momento lineal

          Escrito por Chails Ver mensaje

          Pero ahora el ejercicio pone: ...
          Hola Chails ...trata siempre de poner el enunciado completo, y si no quieres preguntar por todo el ejercicio , has la aclaración pertinente, aveces con pocos datos se interpreta distinto...

          Escrito por Chails Ver mensaje
          Me he dejado de poner que la solución que pone el libro es:..........
          Bueno si los granos solo abandonan el sistema a la misma velocidad que tiene el sistema, es lógico que la masa restante continúe a la misma velocidad que el sistema traía, si era 3.5 m/s esa será la velocidad que conserve. Yo interprete el primer punto inconexo de segundo por eso use V=4m/s y m=14000 es ves de 3.5 y 16000 ... pero a la vez supuse que no había rozamiento y que la caída era vertical desde el sistema de referencia fuera del vagón, ...así presentada en el solucionario, es tan simple la solución ,que le he buscado la quinta pata al gato innecesariamente...

          El modelo que desarrolle conserva la cantidad de movimiento para una masa de grano que desaparece espontáneamente del sistema...y el sistema entonces cambia de velocidad para conservar su momento lineal, en la práctica esto se da cuando el grano cae con velocidad relativa -v respecto el vagón, y para el sistema de referencia externo el vagón debe acelerar.

          Escrito por JCB Ver mensaje
          Es decir, el vagón tendría desaceleración, .
          Depende la velocidad de salida del grano relativa al vagón, si tiene velocidad relativa positiva, entonces el vagón desacelera, y si la velocidad de salida es negativa entonces acelera... y si justo es -v el grano cae verticalmente visto desde un sistema de referencia externo donde el vagón tiene velocidad v.
          Última edición por Richard R Richard; 18/11/2018, 22:06:03.

          Comentario


          • #6
            Re: Problema conservación del momento lineal

            Hola a todos.

            Richard, para hacer el balance de la cantidad de movimiento, me he basado en un artículo de Wikipedia (https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_masa_variable), donde se indica que no es correcto efectuar la derivada del producto mv. Por este motivo a mi me sale la aceleración (y como consecuencia todo lo demás) en función de la velocidad relativa del caudal másico.

            Saludos cordiales.
            “Lo consiguieron porque no sabían que era imposible”, autor: Jean Cocteau.

            Comentario


            • #7
              Re: Problema conservación del momento lineal

              Entiendo la objeción ,si aplicamos otro SR entonces, si mi formula es incorrecta... por otro lado un sistema que pierde masa a una velocidad menor en el SR que la del CM y si conserva el momento debe ganar velocidad si la fuerza exterior es nula, no perderla...
              Aquí no estamos aplicando relatividad galilieana, solo tenemos un SR, en ese medimos el tiempo en que recorre los 500 m el vagón,
              como el caso del cohete los gases tienen un velocidad menor -V en ese sistema de referencia, pero un módulo mayor|V| que por lo que aumentará la velocidad del cohete progresivamente aunque el consumo sea constante ,ya que su masa a la vez se va reduciendo y la aceleración incrementando, y el tiempo de viaje se va reduciendo para la misma distancia.
              Última edición por Richard R Richard; 19/11/2018, 01:44:46.

              Comentario


              • #8
                Re: Problema conservación del momento lineal

                Escrito por JCB Ver mensaje
                .

                Es decir, el vagón tendría desaceleración, en función de la velocidad relativa del caudal másico. En caso de que esta velocidad relativa fuese u=0, el vagón seguiría con velocidad constante de 3,5 m/s.
                Quiza no entienda del todo el planteo, pero es tomado positivo, y se lo resta a la masa, es positivo, es positivo, y tambien lo es , luego es positiva es decir acelera no decelera...

                Comentario


                • #9
                  Re: Problema conservación del momento lineal

                  Hola a todos.

                  Richard: según esta ecuación parece que la aceleración es positiva, tal y como dices. Sin embargo esta ecuación (en su forma escalar) solo es aplicable a los sistemas de masa variable donde la velocidad del móvil está en la misma dirección que la velocidad de la masa expulsada (aunque con sentido contrario). En cambio, en el problema que nos ocupa, la velocidad de expulsión es perpendicular a la velocidad del vagón. Tendría que replantearla en su forma vectorial, o bien hacer el balance de la cantidad de movimiento en la componente horizontal y en la vertical, por separado. Corrígeme si no estoy en lo cierto y disculpad por la confusión.
                  “Lo consiguieron porque no sabían que era imposible”, autor: Jean Cocteau.

                  Comentario


                  • #10
                    Re: Problema conservación del momento lineal

                    Hola JCB si nos ceñimos a que la velocidad de la perdida es perpendicular , quiere decir que la velocidad no tiene componente en la dirección que se mueve el vagón es decir iguales en módulo pero de sentido contrario entonces la aceleración es , y si es positiva el sistema acelera... en la vertical el sistema gana momento lineal debido a la gravedad pero eso no influye en el momento lineal horizontal que estamos analizando...
                    Última edición por Richard R Richard; 25/11/2018, 12:59:55. Motivo: ortografia

                    Comentario


                    • #11
                      Re: Problema conservación del momento lineal

                      Hola a todos.

                      Este es el balance de la cantidad de movimiento en el eje x.

                      En el eje x (paralelo a la vía de tren), el caudal másico tiene una velocidad horizontal absoluta, igual a la velocidad del vagón, .

                      .

                      ,

                      ,

                      .

                      (si no hay fuerza exterior aplicada) .

                      Cuando llegue a algún resultado presentable en el eje y, ya lo expondré.

                      - - - Actualizado - - -


                      Antes de pasar al balance en el eje y, consideremos el caso general, donde el vector velocidad relativa (u) del caudal másico, forma un ángulo con el eje vertical.

                      En esta situación, .

                      .

                      ,

                      ,

                      ,

                      (si no hay fuerza exterior aplicada).

                      Dividiendo por :

                      ,

                      ,



                      Casos particulares:

                      - Caudal másico vertical () .

                      - Caudal másico horizontal () .
                      Última edición por JCB; 24/11/2018, 09:06:32.
                      “Lo consiguieron porque no sabían que era imposible”, autor: Jean Cocteau.

                      Comentario


                      • #12
                        Re: Problema conservación del momento lineal

                        Hola, tu planteo JCB es impecable, en el primer punto estamos de acuerdo, y para el segundo Posteo esto para ver si concordamos que tiene dos formas de verse.... una aplicando la suposición del primer punto

                        Escrito por Chails Ver mensaje
                        .....................Suponer que el grano cae verticalmente y que la desaceleración debida al rozamiento por rodadura y la resistencia del aire es despreciable.


                        ......................................
                        para lo cual usariamos

                        Escrito por JCB Ver mensaje


                        Caso particular.........

                        - Caudal másico horizontal () .

                        quedaría

                        Luego

                        del cual le queda resolver la cuadrática para hallar el tiempo..... comparando

                        Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
                        tan tan tan mal no me iba...



                        Pero si solo consideramos el enunciado

                        Escrito por Chails Ver mensaje
                        ...........Un vagón de ferrocarril incontrolado de masa 14000 kg se desplaza horizontalmente a 4 m/s ......................................Supongamos que hay un pequeño agujero en el fondo del vagón, de modo que el grano se escapa por él a razón de 10 kg/s. ¿Cuánto tiempo tarda ahora el vagón en cubrir los 500m?
                        si el grano conserva su velocidad lineal mientras cae., entonces



                        Escrito por JCB Ver mensaje



                        Caso particular....

                        - Caudal másico vertical () .
                        y directamente





                        - - - Actualizado - - -

                        En terminos de diferenciales el problema se puede plantear así







                        es despreciable frente a los otros términos

                        luego



                        que puede escribir como



                        luego



                        reagrupando



                        en este problema



                        que implica



                        de donde sale que

                        en el caso de que el grano perdido conserva la velocidad en el eje x

                        y en el caso en que cae verticalmente, su velocidad absoluta es nula por lo que su velocidad relativa es

                        entonces



                        que en caso que convirtiendo el problema en uno de MRUA

                        sino si se debe abordar



                        que es una ecuación diferencial de segundo grado con solución





                        de la cual luego debe despejarse que será el tiempo empleado para un desplazamiento

                        En general



                        de donde aun con Fuerza exterior variable en el tiempo esto es solo una aproximación con



                        hay que tener en cuenta las condiciones de contorno que pueden agregar términos a la integral para las cuales , ,
                        Última edición por Richard R Richard; 25/11/2018, 21:17:28. Motivo: actualización y ortografía

                        Comentario


                        • #13
                          Re: Problema conservación del momento lineal

                          Hola a todos.

                          Perdona Richard, pero no quiero contestar a tu último post (# 12) (lo que faltaba: acabo de ver que está recién actualizado) sin antes haberlo estudiado detenidamente. Entretanto, y como ya tenía prácticamente desarrollado el balance de la cantidad de movimiento en el eje y (caso general), pues aquí lo expongo:

                          En esta situación, .

                          .

                          .

                          .

                          En este caso sí que existen fuerzas exteriores al sistema: éstas son la gravedad y la fuerza normal que ejercen los raíles sobre las ruedas del vagón. Dividiendo por :

                          ,

                          .

                          Para hallar N en función de t:

                          Si llamamos ,



                          El término de N, es el empuje vertical del caudal másico del grano, actuando como propelente. N decrece debido a la pérdida de masa de grano y a su propulsión, tal y como nos indica la intuición.

                          - - - Actualizado - - -

                          Hola otra vez.

                          Creo que llegados a este punto, conviene hacer un resumen, para ordenarme las ideas. Intentaré ser breve.

                          - En el caso general (ángulo de inclinación entre el vector “u” y la vertical), el balance de la cantidad de movimiento en el eje X (cuyo análisis se hace con velocidades absolutas), nos proporcionó la expresión , donde “u” es la velocidad relativa del caudal másico respecto del vagón. El módulo de esta velocidad relativa, en el enunciado del problema no aparece, pero en cambio, sí que aparece su dirección y su sentido (vertical y hacia abajo, ), por tanto .

                          - Si recordamos el enunciado: el vagón circula inicialmente a una velocidad de 4 m/s, y sobre él se descargan los 2.000 kg de grano, pasando a una velocidad de 3,5 m/s (tal y como decía Chails en su primer post). Por tanto si el vagón circula a 3,5 m/s y aunque tenga un agujero en su fondo por donde descarga el grano, como , seguirá circulando a esa misma velocidad de manera constante. El tiempo en recorrer los 500 m, será .

                          - Ahora salimos de la situación particular del problema y consideramos que el grano es eyectado horizontalmente del vagón (), por tanto . Lamentablemente, en esta nueva situación el problema queda indeterminado, pues desconocemos el módulo de la velocidad relativa “u”.

                          No sé si estarás de acuerdo conmigo Richard. ¿ Cómo lo ves ?.
                          Última edición por JCB; 25/11/2018, 19:35:57.
                          “Lo consiguieron porque no sabían que era imposible”, autor: Jean Cocteau.

                          Comentario


                          • #14
                            Re: Problema conservación del momento lineal

                            Escrito por JCB Ver mensaje
                            - Si recordamos el enunciado: el vagón circula inicialmente a una velocidad de 4 m/s, y sobre él se descargan los 2.000 kg de grano, pasando a una velocidad de 3,5 m/s (tal y como decía Chails en su primer post). Por tanto si el vagón circula a 3,5 m/s y aunque tenga un agujero en su fondo por donde descarga el grano, como , seguirá circulando a esa misma velocidad de manera constante. El tiempo en recorrer los 500 m, será